Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về chuyển động của ca nô trên sông. Đây là dạng bài rất phổ biến trong chương trình Toán lớp 9, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức và kỹ năng giải phương trình.

Đề bài: Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 80 km, sau đó ngược dòng khúc sông đó 60 km hết tổng cộng 8 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc thực của ca nô.

Chúng ta cùng phân tích và giải bài toán này nhé!

Bước 1: Đặt ẩn và xác định các đại lượng liên quan

Để tìm vận tốc thực của ca nô, chúng ta sẽ gọi vận tốc này là ẩn số.

• Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\) (km/h).
• Điều kiện của \(x\): Vận tốc là một đại lượng dương, và để ca nô có thể đi ngược dòng được thì vận tốc thực của nó phải lớn hơn vận tốc dòng nước. Do đó, \(x > 2\).
• Vận tốc dòng nước đã biết là: \(V_{nuoc} = 2\) km/h.

Bước 2: Biểu diễn các vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng

Khi ca nô chuyển động trên sông, vận tốc của nó sẽ bị ảnh hưởng bởi vận tốc dòng nước:

• Khi xuôi dòng (đi cùng chiều với dòng nước), vận tốc của ca nô sẽ được cộng thêm vận tốc dòng nước:
  \(V_{xuoi} = V_{thuc} + V_{nuoc} = x + 2\) (km/h).
• Khi ngược dòng (đi ngược chiều với dòng nước), vận tốc của ca nô sẽ bị trừ đi vận tốc dòng nước:
  \(V_{nguoc} = V_{thuc} – V_{nuoc} = x – 2\) (km/h).

Bước 3: Biểu diễn thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng theo ẩn \(x\)

Chúng ta biết công thức tính thời gian là: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

• Quãng đường xuôi dòng là 80 km. Thời gian đi xuôi dòng là:
  \(t_{xuoi} = \frac{S_{xuoi}}{V_{xuoi}} = \frac{80}{x + 2}\) (giờ).
• Quãng đường ngược dòng là 60 km. Thời gian đi ngược dòng là:
  \(t_{nguoc} = \frac{S_{nguoc}}{V_{nguoc}} = \frac{60}{x – 2}\) (giờ).

Bước 4: Lập phương trình dựa trên tổng thời gian

Theo đề bài, tổng thời gian ca nô chạy xuôi dòng và ngược dòng là 8 giờ. Vì vậy, ta có phương trình:

\(t_{xuoi} + t_{nguoc} = 8\)

\( \frac{80}{x + 2} + \frac{60}{x – 2} = 8 \)

Bước 5: Giải phương trình

Chúng ta sẽ giải phương trình vừa lập được:

Mẫu chung của phương trình là \((x + 2)(x – 2) = x^2 – 4\). (Lưu ý: điều kiện \(x > 2\) đảm bảo mẫu số khác 0).

Nhân cả hai vế của phương trình với \((x^2 – 4)\) để khử mẫu:

\( 80(x – 2) + 60(x + 2) = 8(x^2 – 4) \)

Triển khai các biểu thức:

\( 80x – 160 + 60x + 120 = 8x^2 – 32 \)

Gộp các hạng tử tương tự:

\( 140x – 40 = 8x^2 – 32 \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\( 0 = 8x^2 – 140x + 40 – 32 \)

\( 8x^2 – 140x + 8 = 0 \)

Chia cả hai vế cho 4 để đơn giản phương trình:

\( 2x^2 – 35x + 2 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 2\), \(b = -35\), \(c = 2\).

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\( \Delta = b^2 – 4ac = (-35)^2 – 4(2)(2) \)

\( \Delta = 1225 – 16 \)

\( \Delta = 1209 \)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-35) + \sqrt{1209}}{2(2)} = \frac{35 + \sqrt{1209}}{4} \)

\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-35) – \sqrt{1209}}{2(2)} = \frac{35 – \sqrt{1209}}{4} \)

Tính giá trị xấp xỉ của các nghiệm:

\( \sqrt{1209} \approx 34.7706 \)

\( x_1 \approx \frac{35 + 34.7706}{4} \approx \frac{69.7706}{4} \approx 17.44265 \)

\( x_2 \approx \frac{35 – 34.7706}{4} \approx \frac{0.2294}{4} \approx 0.05735 \)

Bước 6: Đối chiếu điều kiện và kết luận

Chúng ta đã đặt điều kiện ban đầu là \(x > 2\).

• Nghiệm \(x_1 \approx 17.44265\) thỏa mãn điều kiện \(x > 2\).
• Nghiệm \(x_2 \approx 0.05735\) không thỏa mãn điều kiện \(x > 2\) (vì vận tốc thực của ca nô phải lớn hơn vận tốc dòng nước thì mới có thể đi ngược dòng được). Do đó, nghiệm này bị loại bỏ.

Vậy, vận tốc thực của ca nô là khoảng 17.44 km/h.

Đáp số: Vận tốc thực của ca nô là khoảng \(17.44\) km/h.

Thầy/cô mong rằng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài toán chuyển động trên sông. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng toán này nhé!