Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động khá thú vị và thường gặp trong chương trình Toán lớp 9. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm vận tốc thực của ca nô. Để giải bài này bằng cách lập hệ phương trình hai ẩn, chúng ta sẽ làm theo các bước sau nhé!

1. Phân tích đề bài và đặt ẩn:

• Quãng đường ca nô chạy xuôi dòng: 80 km
• Quãng đường ca nô chạy ngược dòng: 60 km
• Tổng thời gian cả đi xuôi và ngược: 8 giờ
• Vận tốc dòng nước: 2 km/h
• Yêu cầu: Tính vận tốc thực của ca nô.

Để giải bài toán bằng hệ phương trình hai ẩn, chúng ta sẽ gọi hai ẩn liên quan đến vận tốc chuyển động của ca nô trên sông:

– Gọi \(v_x\) (km/h) là vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng.

– Gọi \(v_n\) (km/h) là vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng.

Điều kiện: Vận tốc luôn là một số dương, nên \(v_x > 0\) và \(v_n > 0\). Ngoài ra, vận tốc xuôi dòng phải lớn hơn vận tốc ngược dòng, tức là \(v_x > v_n\).

2. Lập hệ phương trình:

Dựa vào các thông tin đã cho trong đề bài, chúng ta có thể lập được hai phương trình như sau:

a) Phương trình về tổng thời gian:
– Thời gian ca nô đi xuôi dòng là: \(t_{\text{xuôi}} = \frac{\text{Quãng đường xuôi}}{\text{Vận tốc xuôi}} = \frac{80}{v_x}\) (giờ).
– Thời gian ca nô đi ngược dòng là: \(t_{\text{ngược}} = \frac{\text{Quãng đường ngược}}{\text{Vận tốc ngược}} = \frac{60}{v_n}\) (giờ).

Vì tổng thời gian cả đi xuôi và ngược là 8 giờ, ta có phương trình thứ nhất:

\(\frac{80}{v_x} + \frac{60}{v_n} = 8 \quad (1)\)

b) Phương trình về mối liên hệ giữa các vận tốc:
Gọi \(V\) (km/h) là vận tốc thực của ca nô. (Đây là đại lượng mà chúng ta cần tìm sau khi giải hệ).

Chúng ta có các công thức sau:

• Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực của ca nô + Vận tốc dòng nước
• Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực của ca nô – Vận tốc dòng nước

Theo đề bài, vận tốc dòng nước là 2 km/h. Do đó:

\(v_x = V + 2 \quad (A)\)

\(v_n = V – 2 \quad (B)\)

Để ca nô có thể đi ngược dòng, vận tốc thực của ca nô phải lớn hơn vận tốc dòng nước, tức là \(V > 2\) km/h. Từ đó suy ra \(v_n = V – 2 > 0\).

Từ (A) và (B), ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa \(v_x\) và \(v_n\):

\(v_x – v_n = (V + 2) – (V – 2) = V + 2 – V + 2 = 4\)

Vậy, ta có phương trình thứ hai:

\(v_x – v_n = 4 \quad (2)\)

Hệ phương trình của chúng ta là:

\(\begin{cases} \frac{80}{v_x} + \frac{60}{v_n} = 8 \quad (1) \\ v_x – v_n = 4 \quad (2) \end{cases}\)

3. Giải hệ phương trình:

Từ phương trình (2), ta biểu diễn \(v_x\) theo \(v_n\):

\(v_x = v_n + 4\)

Thay biểu thức của \(v_x\) vào phương trình (1), ta được một phương trình với ẩn \(v_n\):

\(\frac{80}{v_n + 4} + \frac{60}{v_n} = 8\)

Để giải phương trình này, ta quy đồng mẫu số chung là \(v_n(v_n + 4)\):

\(\frac{80v_n}{v_n(v_n + 4)} + \frac{60(v_n + 4)}{v_n(v_n + 4)} = 8\)

Nhân cả hai vế với \(v_n(v_n + 4)\) (Điều kiện \(v_n \neq 0\) và \(v_n \neq -4\), điều này luôn đúng vì \(v_n > 0\)):

\(80v_n + 60(v_n + 4) = 8v_n(v_n + 4)\)

Mở ngoặc và rút gọn:

\(80v_n + 60v_n + 240 = 8v_n^2 + 32v_n\)

\(140v_n + 240 = 8v_n^2 + 32v_n\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để được phương trình bậc hai:

\(8v_n^2 + 32v_n – 140v_n – 240 = 0\)

\(8v_n^2 – 108v_n – 240 = 0\)

Chia cả hai vế cho 4 để đơn giản hóa phương trình:

\(2v_n^2 – 27v_n – 60 = 0\)

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

Với \(a = 2, b = -27, c = -60\).

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-27)^2 – 4 \cdot (2) \cdot (-60)\)

\(\Delta = 729 + 480\)

\(\Delta = 1209\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(v_n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(v_n = \frac{-(-27) \pm \sqrt{1209}}{2 \cdot 2}\)

\(v_n = \frac{27 \pm \sqrt{1209}}{4}\)

Ta có hai nghiệm:

\(v_{n,1} = \frac{27 + \sqrt{1209}}{4}\)

\(v_{n,2} = \frac{27 – \sqrt{1209}}{4}\)

Vì \(\sqrt{1209} \approx 34.77\), nên \(\sqrt{1209} > 27\). Do đó, nghiệm \(v_{n,2} = \frac{27 – \sqrt{1209}}{4}\) sẽ là một số âm. Mà vận tốc phải là số dương, nên \(v_{n,2}\) bị loại.

Vậy, ta chọn nghiệm phù hợp:

\(v_n = \frac{27 + \sqrt{1209}}{4}\) (km/h).

Bây giờ, chúng ta cần tìm vận tốc thực của ca nô (là \(V\)). Chúng ta có mối quan hệ: \(v_n = V – 2\).

Suy ra, \(V = v_n + 2\)

\(V = \frac{27 + \sqrt{1209}}{4} + 2\)

\(V = \frac{27 + \sqrt{1209} + 8}{4}\)

\(V = \frac{35 + \sqrt{1209}}{4}\) (km/h).

Kiểm tra điều kiện:
\(V = \frac{35 + \sqrt{1209}}{4} \approx \frac{35 + 34.77}{4} \approx \frac{69.77}{4} \approx 17.44\) km/h. Vận tốc này lớn hơn vận tốc dòng nước (2 km/h) nên hoàn toàn hợp lý.

4. Kết luận:

Vận tốc thực của ca nô là \(\frac{35 + \sqrt{1209}}{4}\) km/h.

Nếu làm tròn đến một chữ số thập phân, vận tốc thực của ca nô khoảng \(17.4\) km/h.

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!