Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán chuyển động rất thú vị liên quan đến ca nô trên sông. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô. Biết quãng đường dài 30km. Vận tốc dòng nước = 4km/h.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích bài toán và tìm lời giải nhé!

Bước 1: Tóm tắt và phân tích các đại lượng đã biết và cần tìm

Để giải bài toán này một cách khoa học, chúng ta cần xác định rõ các thông tin đã cho và điều cần tìm:

• Quãng đường AB: \(S = 30\) km.
• Tổng thời gian cả đi và về: \(T_{tổng} = 4\) giờ.
• Vận tốc dòng nước: \(v_{nước} = 4\) km/h.
• Cần tìm: Vận tốc của ca nô khi nước lặng (hay còn gọi là vận tốc riêng của ca nô).

Bước 2: Gọi ẩn và thiết lập các biểu thức liên quan

Chúng ta sẽ gọi đại lượng cần tìm là ẩn số.
Gọi vận tốc của ca nô khi nước lặng là \(x\) (km/h).

Để ca nô có thể đi ngược dòng, vận tốc của ca nô phải lớn hơn vận tốc dòng nước. Do đó, ta có điều kiện: \(x > 4\).

Bây giờ, chúng ta sẽ biểu diễn vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô theo \(x\):

1. Vận tốc xuôi dòng:
Khi ca nô chạy xuôi dòng, vận tốc của ca nô sẽ được cộng thêm vận tốc của dòng nước.
Vận tốc xuôi dòng là: \(v_{xuôi} = x + v_{nước} = x + 4\) (km/h).

2. Vận tốc ngược dòng:
Khi ca nô chạy ngược dòng, vận tốc của ca nô sẽ bị giảm đi vận tốc của dòng nước.
Vận tốc ngược dòng là: \(v_{ngược} = x – v_{nước} = x – 4\) (km/h).

3. Thời gian đi xuôi dòng:
Thời gian đi từ A đến B (xuôi dòng) được tính bằng công thức: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.
Thời gian đi xuôi dòng là: \(t_{xuôi} = \frac{S}{v_{xuôi}} = \frac{30}{x + 4}\) (giờ).

4. Thời gian đi ngược dòng:
Thời gian đi từ B về A (ngược dòng) được tính bằng công thức: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.
Thời gian đi ngược dòng là: \(t_{ngược} = \frac{S}{v_{ngược}} = \frac{30}{x – 4}\) (giờ).

Bước 3: Lập phương trình

Theo đề bài, tổng thời gian cả đi và về là 4 giờ. Tức là:
\(t_{xuôi} + t_{ngược} = T_{tổng}\)
Thay các biểu thức đã tìm vào, ta được phương trình:
\(\frac{30}{x + 4} + \frac{30}{x – 4} = 4\)

Bước 4: Giải phương trình

Chúng ta sẽ giải phương trình vừa lập được:

\(\frac{30}{x + 4} + \frac{30}{x – 4} = 4\)

Để cộng hai phân số ở vế trái, ta quy đồng mẫu số chung là \((x + 4)(x – 4)\). Lưu ý rằng \((x + 4)(x – 4) = x^2 – 4^2 = x^2 – 16\).

\(\frac{30(x – 4)}{(x + 4)(x – 4)} + \frac{30(x + 4)}{(x – 4)(x + 4)} = 4\)

\(\frac{30(x – 4) + 30(x + 4)}{x^2 – 16} = 4\)

Thực hiện phép nhân và cộng các số hạng trên tử số:

\(\frac{30x – 120 + 30x + 120}{x^2 – 16} = 4\)

\(\frac{60x}{x^2 – 16} = 4\)

Nhân chéo (nhân \((x^2 – 16)\) lên vế phải):

\(60x = 4(x^2 – 16)\)

Chia cả hai vế cho 4 để đơn giản phương trình:

\(15x = x^2 – 16\)

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai: \(ax^2 + bx + c = 0\)

\(x^2 – 15x – 16 = 0\)

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, ta thấy có thể phân tích thành nhân tử (tìm hai số có tích bằng -16 và tổng bằng -15, đó là -16 và 1).

\((x – 16)(x + 1) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp xảy ra:

• Trường hợp 1: \(x – 16 = 0 \Rightarrow x = 16\)
• Trường hợp 2: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta cần so sánh các giá trị \(x\) tìm được với điều kiện ban đầu của bài toán: \(x > 4\).

• Với \(x = 16\): Giá trị này thỏa mãn điều kiện \(x > 4\). Vậy đây là một nghiệm hợp lý.
• Với \(x = -1\): Giá trị này không thỏa mãn điều kiện \(x > 4\) (vì vận tốc không thể là số âm). Do đó, nghiệm này bị loại bỏ.

Vậy, vận tốc của ca nô khi nước lặng là 16 km/h.

Kết luận:

Vận tốc của ca nô là 16 km/h.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm bài toán dạng này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!