Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chuyển động khá thú vị liên quan đến ca nô xuôi dòng và ngược dòng. Các em hãy tập trung lắng nghe và ghi chép lại nhé!

Bài toán:

Một ca nô xuôi dòng một khúc sông dài 72km, sau đó ngược khúc sông đó 40km hết tổng cộng 5h. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô xuôi dòng 48km và ngược dòng 60km cũng hết 5h. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc dòng nước.

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng đã biết và chưa biết. Đầu tiên, chúng ta sẽ gọi:

• Vận tốc thực của ca nô là \(x\) (km/h), với điều kiện \(x > 0\).
• Vận tốc dòng nước là \(y\) (km/h), với điều kiện \(y > 0\).

Dựa vào quy tắc chuyển động xuôi dòng và ngược dòng, chúng ta có:

• Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là: \(x + y\) (km/h).
• Vận tốc ca nô khi ngược dòng là: \(x – y\) (km/h).

Chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp để lập phương trình:

Trường hợp 1:

Ca nô xuôi dòng 72km và ngược dòng 40km hết tổng cộng 5h.

Thời gian xuôi dòng là: \(t_{xuôi1} = \frac{S_{xuôi1}}{v_{xuôi}} = \frac{72}{x + y}\) (giờ)

Thời gian ngược dòng là: \(t_{ngược1} = \frac{S_{ngược1}}{v_{ngược}} = \frac{40}{x – y}\) (giờ)

Theo đề bài, tổng thời gian là 5 giờ, nên ta có phương trình:

\(\frac{72}{x + y} + \frac{40}{x – y} = 5\) (1)

Trường hợp 2:

Ca nô xuôi dòng 48km và ngược dòng 60km cũng hết 5h.

Thời gian xuôi dòng là: \(t_{xuôi2} = \frac{S_{xuôi2}}{v_{xuôi}} = \frac{48}{x + y}\) (giờ)

Thời gian ngược dòng là: \(t_{ngược2} = \frac{S_{ngược2}}{v_{ngược}} = \frac{60}{x – y}\) (giờ)

Theo đề bài, tổng thời gian là 5 giờ, nên ta có phương trình:

\(\frac{48}{x + y} + \frac{60}{x – y} = 5\) (2)

Bây giờ, chúng ta có một hệ phương trình với hai ẩn \(x\) và \(y\):

\(\begin{cases} \frac{72}{x + y} + \frac{40}{x – y} = 5 \\ \frac{48}{x + y} + \frac{60}{x – y} = 5 \end{cases}\)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt:

• \(a = \frac{1}{x + y}\)
• \(b = \frac{1}{x – y}\)

Với điều kiện \(a > 0\) và \(b > 0\) (vì \(x > y\), nên \(x – y > 0\)).

Hệ phương trình trở thành:

\(\begin{cases} 72a + 40b = 5 \\ 48a + 60b = 5 \end{cases}\)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ở đây, chúng ta sẽ dùng phương pháp cộng đại số để khử ẩn \(a\).

Nhân phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 3 để có hệ số của \(a\) là 144:

\(\begin{cases} 2 \times (72a + 40b) = 2 \times 5 \implies 144a + 80b = 10 \\ 3 \times (48a + 60b) = 3 \times 5 \implies 144a + 180b = 15 \end{cases}\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai (hoặc ngược lại):

\((144a + 180b) – (144a + 80b) = 15 – 10\)

\(100b = 5\)

\(b = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(b\) vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(a\). Lấy phương trình thứ nhất:

\(72a + 40b = 5\)

\(72a + 40 \times \frac{1}{20} = 5\)

\(72a + 2 = 5\)

\(72a = 5 – 2\)

\(72a = 3\)

\(a = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}\)

Vậy, ta có \(a = \frac{1}{24}\) và \(b = \frac{1}{20}\).

Bây giờ, chúng ta quay trở lại với ẩn ban đầu:

• \(a = \frac{1}{x + y} = \frac{1}{24} \implies x + y = 24\) (3)
• \(b = \frac{1}{x – y} = \frac{1}{20} \implies x – y = 20\) (4)

Chúng ta lại có một hệ phương trình mới với hai ẩn \(x\) và \(y\):

\(\begin{cases} x + y = 24 \\ x – y = 20 \end{cases}\)

Cộng hai phương trình này lại với nhau:

\((x + y) + (x – y) = 24 + 20\)

\(2x = 44\)

\(x = \frac{44}{2} = 22\)

Thay giá trị của \(x\) vào phương trình (3):

\(22 + y = 24\)

\(y = 24 – 22\)

\(y = 2\)

Kiểm tra lại điều kiện ban đầu: \(x = 22 > 0\) và \(y = 2 > 0\). Vận tốc thực của ca nô phải lớn hơn vận tốc dòng nước để ca nô có thể di chuyển ngược dòng, \(x = 22 > y = 2\), điều này thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, vận tốc thực của ca nô là 22 km/h và vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Các em thấy không, chỉ cần áp dụng đúng công thức và phương pháp giải hệ phương trình, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán này. Hãy xem lại các bước giải và cố gắng tự mình làm lại bài toán này để nắm vững hơn kiến thức nhé!