Bài toán:

Một ca nô xuôi dòng một khúc sông từ A đến B với vận tốc 30 km/h rồi ngược dòng khúc sông đó từ B về C với vận tốc 24 km/h. Biết vận tốc dòng nước là 3 km/h và thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ. Tính quãng đường xuôi và ngược.

Phân tích bài toán và phương pháp giải:

Đây là bài toán về chuyển động xuôi dòng và ngược dòng. Chúng ta cần tìm quãng đường, mà để tìm quãng đường thì chúng ta cần biết vận tốc và thời gian.

* Vận tốc xuôi dòng: Đề bài đã cho là 30 km/h.
* Vận tốc ngược dòng: Đề bài đã cho là 24 km/h.
* Vận tốc dòng nước: Đề bài đã cho là 3 km/h.
* Quan hệ giữa vận tốc ca nô, vận tốc dòng nước và vận tốc xuôi/ngược dòng:
* Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc ca nô khi nước lặng + Vận tốc dòng nước
* Vận tốc ngược dòng = Vận tốc ca nô khi nước lặng – Vận tốc dòng nước
* Thời gian: Đề bài cho biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ.
* Quãng đường: Chúng ta cần tính quãng đường AB (xuôi dòng) và quãng đường BC (ngược dòng).

Từ những thông tin này, chúng ta có thể thiết lập phương trình để giải bài toán.

Cách 1: Đặt ẩn là thời gian

Bước 1: Tìm vận tốc thực của ca nô khi nước lặng.
Ta có:
Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc ca nô (nước lặng) + Vận tốc dòng nước
30 km/h = Vận tốc ca nô (nước lặng) + 3 km/h
=> Vận tốc ca nô (nước lặng) = 30 – 3 = 27 km/h.

Vận tốc ngược dòng = Vận tốc ca nô (nước lặng) – Vận tốc dòng nước
24 km/h = Vận tốc ca nô (nước lặng) – 3 km/h
=> Vận tốc ca nô (nước lặng) = 24 + 3 = 27 km/h.
(Kết quả vận tốc ca nô khi nước lặng là nhất quán, chứng tỏ đề bài cho thông tin về vận tốc xuôi và ngược dòng là hợp lý).

Bước 2: Đặt ẩn cho thời gian.
Gọi \(t_{xuôi}\) là thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B (đơn vị: giờ).
Gọi \(t_{ngược}\) là thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về C (đơn vị: giờ).

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ về thời gian.
Theo đề bài, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ, nên ta có:
\(t_{ngược} – t_{xuôi} = 1\) (Phương trình 1)

Bước 4: Biểu diễn quãng đường theo thời gian và vận tốc.
Quãng đường AB (xuôi dòng) là: \(S_{AB} = v_{xuôi} \times t_{xuôi} = 30 \times t_{xuôi}\) (km)
Quãng đường BC (ngược dòng) là: \(S_{BC} = v_{ngược} \times t_{ngược} = 24 \times t_{ngược}\) (km)

Bước 5: Lưu ý rằng quãng đường AB và BC có thể không bằng nhau. Tuy nhiên, đề bài nói “xuôi dòng một khúc sông từ A đến B rồi ngược dòng khúc sông đó từ B về C”. Điều này ngụ ý là quãng đường xuôi và quãng đường ngược dòng là cùng một khúc sông, tức là quãng đường AB bằng quãng đường BC. Nếu đề bài cho “xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B về D” thì mới có thể khác. Với cách diễn đạt này, chúng ta có \(S_{AB} = S_{BC}\).

Vậy ta có: \(30 \times t_{xuôi} = 24 \times t_{ngược}\) (Phương trình 2)

Bước 6: Giải hệ phương trình.
Chúng ta có hệ phương trình:
1) \(t_{ngược} – t_{xuôi} = 1\)
2) \(30 \times t_{xuôi} = 24 \times t_{ngược}\)

Từ Phương trình 1, ta có: \(t_{ngược} = t_{xuôi} + 1\).
Thay \(t_{ngược}\) vào Phương trình 2:
\(30 \times t_{xuôi} = 24 \times (t_{xuôi} + 1)\)
\(30 t_{xuôi} = 24 t_{xuôi} + 24\)
\(30 t_{xuôi} – 24 t_{xuôi} = 24\)
\(6 t_{xuôi} = 24\)
\(t_{xuôi} = \frac{24}{6} = 4\) (giờ)

Bây giờ, ta tìm \(t_{ngược}\):
\(t_{ngược} = t_{xuôi} + 1 = 4 + 1 = 5\) (giờ)

Bước 7: Tính quãng đường.
Quãng đường xuôi dòng (AB): \(S_{AB} = 30 \times t_{xuôi} = 30 \times 4 = 120\) (km)
Quãng đường ngược dòng (BC): \(S_{BC} = 24 \times t_{ngược} = 24 \times 5 = 120\) (km)

Kiểm tra lại: Quãng đường xuôi và ngược là như nhau (120 km), thời gian xuôi là 4 giờ, thời gian ngược là 5 giờ. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược là 5 – 4 = 1 giờ. Mọi thứ đều khớp với đề bài.

Cách 2: Đặt ẩn là quãng đường

Bước 1: Tìm vận tốc thực của ca nô khi nước lặng (Giống Bước 1 của Cách 1).
Vận tốc ca nô khi nước lặng là 27 km/h.

Bước 2: Đặt ẩn cho quãng đường.
Gọi \(S\) là quãng đường xuôi dòng từ A đến B (cũng là quãng đường ngược dòng từ B về C), đơn vị: km.

Bước 3: Biểu diễn thời gian theo quãng đường và vận tốc.
Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B: \(t_{xuôi} = \frac{S}{v_{xuôi}} = \frac{S}{30}\) (giờ)
Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về C: \(t_{ngược} = \frac{S}{v_{ngược}} = \frac{S}{24}\) (giờ)

Bước 4: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ về thời gian.
Theo đề bài, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ, nên ta có:
\(t_{ngược} – t_{xuôi} = 1\)
Thay biểu thức của thời gian vào:
\(\frac{S}{24} – \frac{S}{30} = 1\)

Bước 5: Giải phương trình.
Để giải phương trình này, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 24 và 30 là 120.
\(\frac{5S}{120} – \frac{4S}{120} = 1\)
\(\frac{5S – 4S}{120} = 1\)
\(\frac{S}{120} = 1\)
\(S = 1 \times 120\)
\(S = 120\) (km)

Bước 6: Kết luận.
Quãng đường xuôi dòng là \(S = 120\) km.
Quãng đường ngược dòng là \(S = 120\) km.

Cả hai cách giải đều cho kết quả giống nhau, điều này khẳng định tính đúng đắn của bài toán và cách giải.

Đáp số:

Quãng đường ca nô xuôi dòng là 120 km.
Quãng đường ca nô ngược dòng là 120 km.

Các em có thắc mắc gì về bài toán này không? Nếu có, hãy mạnh dạn hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt!