Bài toán cho biết:
Một cano xuôi dòng khúc sông dài 72km rồi chạy ngược dòng sông ấy 64km hết 7 giờ.
Nếu cano chạy xuôi dòng 120km rồi chạy ngược dòng 32km cũng hết 7 giờ.
Yêu cầu tính vận tốc của cano và vận tốc dòng nước.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình.

Trước hết, chúng ta cần xác định các đại lượng cần tìm.
Gọi vận tốc của cano khi nước yên lặng là \(v_{cano}\) (km/h).
Gọi vận tốc của dòng nước là \(v_{nước}\) (km/h).

Khi cano xuôi dòng, vận tốc của nó sẽ bằng tổng vận tốc của cano và vận tốc dòng nước:
Vận tốc xuôi dòng = \(v_{cano} + v_{nước}\) (km/h).

Khi cano ngược dòng, vận tốc của nó sẽ bằng hiệu vận tốc của cano và vận tốc dòng nước:
Vận tốc ngược dòng = \(v_{cano} – v_{nước}\) (km/h).

Chúng ta cũng cần nhớ công thức quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian:
Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
Thời gian = Quãng đường / Vận tốc

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích thông tin từ đề bài để lập hệ phương trình.

Trường hợp 1:
Quãng đường xuôi dòng là 72km.
Quãng đường ngược dòng là 64km.
Tổng thời gian là 7 giờ.

Thời gian xuôi dòng trong trường hợp này là: \(t_{xuôi1} = \frac{72}{v_{cano} + v_{nước}}\) (giờ).
Thời gian ngược dòng trong trường hợp này là: \(t_{ngược1} = \frac{64}{v_{cano} – v_{nước}}\) (giờ).

Theo đề bài, tổng thời gian là 7 giờ, nên ta có phương trình đầu tiên:
\(\frac{72}{v_{cano} + v_{nước}} + \frac{64}{v_{cano} – v_{nước}} = 7\) (1)

Trường hợp 2:
Quãng đường xuôi dòng là 120km.
Quãng đường ngược dòng là 32km.
Tổng thời gian cũng là 7 giờ.

Thời gian xuôi dòng trong trường hợp này là: \(t_{xuôi2} = \frac{120}{v_{cano} + v_{nước}}\) (giờ).
Thời gian ngược dòng trong trường hợp này là: \(t_{ngược2} = \frac{32}{v_{cano} – v_{nước}}\) (giờ).

Theo đề bài, tổng thời gian là 7 giờ, nên ta có phương trình thứ hai:
\(\frac{120}{v_{cano} + v_{nước}} + \frac{32}{v_{cano} – v_{nước}} = 7\) (2)

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn là \(v_{cano} + v_{nước}\) và \(v_{cano} – v_{nước}\). Để cho gọn, chúng ta có thể đặt ẩn phụ.

Đặt \(x = v_{cano} + v_{nước}\) (vận tốc xuôi dòng).
Đặt \(y = v_{cano} – v_{nước}\) (vận tốc ngược dòng).

Lưu ý: \(x\) và \(y\) phải thỏa mãn điều kiện \(x > y > 0\) vì vận tốc xuôi dòng luôn lớn hơn vận tốc ngược dòng và vận tốc dòng nước phải dương.

Hệ phương trình trở thành:
\(\frac{72}{x} + \frac{64}{y} = 7\) (1′)
\(\frac{120}{x} + \frac{32}{y} = 7\) (2′)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. Một cách phổ biến là sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số sau khi quy đồng mẫu số hoặc đặt ẩn phụ khác cho các phân số.

Ở đây, ta có thể dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Để dễ dàng hơn, chúng ta có thể đặt ẩn phụ cho các phân số:
Đặt \(a = \frac{1}{x}\)
Đặt \(b = \frac{1}{y}\)

Hệ phương trình trở thành:
\(72a + 64b = 7\) (A)
\(120a + 32b = 7\) (B)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình tuyến tính (A) và (B) này.
Chúng ta có thể nhân phương trình (B) với 2 để có hệ số của \(b\) là 64, tương tự như phương trình (A).
\(120a \times 2 + 32b \times 2 = 7 \times 2\)
\(240a + 64b = 14\) (B’)

Bây giờ, chúng ta lấy phương trình (B’) trừ đi phương trình (A):
\((240a + 64b) – (72a + 64b) = 14 – 7\)
\(240a – 72a = 7\)
\(168a = 7\)
\(a = \frac{7}{168}\)
\(a = \frac{1}{24}\)

Bây giờ, thay giá trị của \(a\) vào phương trình (A) để tìm \(b\):
\(72 \times \frac{1}{24} + 64b = 7\)
\(3 + 64b = 7\)
\(64b = 7 – 3\)
\(64b = 4\)
\(b = \frac{4}{64}\)
\(b = \frac{1}{16}\)

Sau khi tìm được \(a\) và \(b\), chúng ta quay lại các ẩn phụ ban đầu:
\(a = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{a} = \frac{1}{1/24} = 24\)
\(b = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{b} = \frac{1}{1/16} = 16\)

Bây giờ, chúng ta có giá trị của \(x\) và \(y\):
\(x = v_{cano} + v_{nước} = 24\) (km/h)
\(y = v_{cano} – v_{nước} = 16\) (km/h)

Chúng ta đã trở lại với bài toán cơ bản hơn: tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng.
Ta có một hệ phương trình mới:
\(v_{cano} + v_{nước} = 24\) (3)
\(v_{cano} – v_{nước} = 16\) (4)

Để tìm \(v_{cano}\), ta cộng hai phương trình (3) và (4):
\((v_{cano} + v_{nước}) + (v_{cano} – v_{nước}) = 24 + 16\)
\(2v_{cano} = 40\)
\(v_{cano} = \frac{40}{2}\)
\(v_{cano} = 20\) (km/h)

Để tìm \(v_{nước}\), ta trừ phương trình (4) cho phương trình (3):
\((v_{cano} + v_{nước}) – (v_{cano} – v_{nước}) = 24 – 16\)
\(v_{cano} + v_{nước} – v_{cano} + v_{nước} = 8\)
\(2v_{nước} = 8\)
\(v_{nước} = \frac{8}{2}\)
\(v_{nước} = 4\) (km/h)

Vậy, vận tốc của cano khi nước yên lặng là 20 km/h và vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Chúng ta có thể kiểm tra lại kết quả với các điều kiện ban đầu:
Vận tốc xuôi dòng = \(20 + 4 = 24\) km/h.
Vận tốc ngược dòng = \(20 – 4 = 16\) km/h.

Trường hợp 1:
Thời gian xuôi dòng: \(72 / 24 = 3\) giờ.
Thời gian ngược dòng: \(64 / 16 = 4\) giờ.
Tổng thời gian: \(3 + 4 = 7\) giờ. (Đúng)

Trường hợp 2:
Thời gian xuôi dòng: \(120 / 24 = 5\) giờ.
Thời gian ngược dòng: \(32 / 16 = 2\) giờ.
Tổng thời gian: \(5 + 2 = 7\) giờ. (Đúng)

Kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:
Vận tốc của cano (khi nước yên lặng) là 20 km/h.
Vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán chuyển động dạng này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!