Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về chuyển động ném xiên, một dạng bài rất quen thuộc và thú vị trong Vật lý học, đặc biệt là khi áp dụng vào các môn thể thao như bóng rổ. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về phương trình chuyển động và cách áp dụng chúng để giải quyết vấn đề thực tế.

— PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI VÀ TÓM TẮT DỮ KIỆN —

Đề bài cho chúng ta các thông tin sau:

• Chiều cao cầu thủ (đồng thời là độ cao ban đầu ném bóng): \(h_0 = 2 \text{ m}\).
• Độ cao miệng rổ so với mặt đất: \(h_{rổ} = 3,05 \text{ m}\).
• Gia tốc trọng trường: \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\).
• Góc ném so với phương ngang: \(\alpha = 45^\circ\).
• Khoảng cách nằm ngang từ cầu thủ đến rổ: L (Giá trị này không được cho trong đề bài. Để có thể tính toán ra một con số cụ thể, chúng ta cần phải có giá trị của L. Trong thực tế, khoảng cách này có thể thay đổi tùy vị trí ném. Giả sử đây là một cú ném phạt, khoảng cách L thường vào khoảng 4,2 m từ tâm rổ. Chúng ta sẽ lấy L = 4,2 m để hoàn thành bài toán. Nếu có giá trị L khác, các em chỉ cần thay vào công thức cuối cùng nhé!)

Yêu cầu của bài toán là tìm vận tốc ban đầu nhỏ nhất (\(v_0\)) để bóng có thể chạm vào rổ. Với góc ném đã cố định (\(45^\circ\)) và khoảng cách L đã cho (hoặc giả định), vận tốc này là duy nhất, không phải là tìm giá trị nhỏ nhất theo góc ném hay khoảng cách.

— CHỌN HỆ TỌA ĐỘ VÀ VẼ HÌNH (Mô tả) —

Để giải bài toán ném xiên, việc chọn hệ tọa độ phù hợp là rất quan trọng.

Chúng ta sẽ chọn:

• Gốc tọa độ O tại vị trí ném bóng (ngang đầu cầu thủ).
• Trục Ox theo phương ngang, cùng chiều chuyển động của bóng.
• Trục Oy theo phương thẳng đứng, hướng lên trên.

Với cách chọn hệ trục này:

• Tọa độ ban đầu của bóng: \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\).
• Tọa độ của miệng rổ:
  • Hoành độ: \(x_{rổ} = L\).
  • Tung độ: \(y_{rổ} = h_{rổ} – h_0 = 3,05 \text{ m} – 2 \text{ m} = 1,05 \text{ m}\). (Vì gốc tọa độ ở độ cao 2m so với mặt đất).

Hình vẽ mô tả (các em có thể hình dung):

Hãy tưởng tượng một người chơi bóng rổ đứng thẳng. Bóng được ném từ ngang đầu của anh ta. Từ điểm ném, kẻ một trục ngang sang phải (Ox) và một trục thẳng đứng lên trên (Oy). Quỹ đạo của bóng sẽ là một đường parabol bắt đầu từ gốc O, bay lên cao rồi rơi xuống, đi qua điểm miệng rổ có tọa độ \((L; y_{rổ})\). Điểm ném và rổ đều nằm phía trên mặt đất.

— THIẾT LẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG —

Vận tốc ban đầu của bóng là \(v_0\) với góc ném \(\alpha = 45^\circ\).

1. Phân tích vận tốc ban đầu:

• Thành phần vận tốc ban đầu theo trục Ox: \(v_{0x} = v_0 \cos \alpha\)
• Thành phần vận tốc ban đầu theo trục Oy: \(v_{0y} = v_0 \sin \alpha\)

2. Các thành phần gia tốc:

Vì bỏ qua lực cản của không khí, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực. Trọng lực luôn hướng thẳng đứng xuống dưới.

• Gia tốc theo trục Ox: \(a_x = 0\) (chuyển động đều theo phương ngang)
• Gia tốc theo trục Oy: \(a_y = -g\) (vì trục Oy hướng lên, gia tốc trọng trường hướng xuống)

3. Phương trình vận tốc tại thời điểm t:

• Theo trục Ox: \(v_x(t) = v_{0x} = v_0 \cos \alpha\)
• Theo trục Oy: \(v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 \sin \alpha – gt\)

4. Phương trình tọa độ tại thời điểm t:

• Theo trục Ox: \(x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos \alpha \cdot t\)
• Theo trục Oy: \(y(t) = v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2 = v_0 \sin \alpha \cdot t – \frac{1}{2} gt^2\)

5. Phương trình quỹ đạo (mối liên hệ giữa y và x):

Từ phương trình tọa độ theo trục Ox, ta rút ra thời gian \(t\):

\(t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}\)

Thay \(t\) vào phương trình tọa độ theo trục Oy:

\(y(x) = v_0 \sin \alpha \left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right) – \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right)^2\)

Rút gọn, ta được phương trình quỹ đạo:

\(y(x) = x \tan \alpha – \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}\)

— ÁP DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỂ BÓNG VÀO RỔ —

Khi bóng chạm vào rổ, nó phải có tọa độ \((x, y) = (L, y_{rổ})\).

Thay các giá trị này vào phương trình quỹ đạo:

\(y_{rổ} = L \tan \alpha – \frac{g L^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}\)

Chúng ta cần tìm \(v_0\), vậy hãy biến đổi phương trình để tìm \(v_0^2\):

\(\frac{g L^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} = L \tan \alpha – y_{rổ}\)

\(v_0^2 = \frac{g L^2}{2 \cos^2 \alpha (L \tan \alpha – y_{rổ})}\)

\(v_0 = \sqrt{\frac{g L^2}{2 \cos^2 \alpha (L \tan \alpha – y_{rổ})}}\)

— THAY SỐ VÀ TÍNH TOÁN —

Các giá trị đã biết:

• \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\)
• \(L = 4,2 \text{ m}\) (giả định)
• \(y_{rổ} = 1,05 \text{ m}\)
• \(\alpha = 45^\circ\)

Với \(\alpha = 45^\circ\):

• \(\tan 45^\circ = 1\)
• \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Thay các giá trị này vào công thức của \(v_0\):

\(v_0 = \sqrt{\frac{9,8 \cdot (4,2)^2}{2 \cdot \frac{1}{2} (4,2 \cdot 1 – 1,05)}}\)

\(v_0 = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 17,64}{1 \cdot (4,2 – 1,05)}}\)

\(v_0 = \sqrt{\frac{172,872}{3,15}}\)

\(v_0 = \sqrt{54,88}\)

\(v_0 \approx 7,4081 \text{ m/s}\)

Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm:

\(v_0 \approx 7,41 \text{ m/s}\)

— KẾT LUẬN —

Với giả định khoảng cách L từ cầu thủ đến rổ là 4,2 m, người đó phải ném bóng từ độ cao ngang đầu theo phương 45 độ so với phương ngang với vận tốc ban đầu có độ lớn nhỏ nhất là khoảng 7,41 m/s để bóng có thể chạm vào rổ.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào về bài giải hoặc muốn thử với một khoảng cách L khác, các em đừng ngần ngại hỏi nhé!