Chào các em học sinh yêu quý của thầy!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài tập rất hay về dao động điều hoà, liên quan đến sự chuyển hoá năng lượng trong quá trình dao động. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài:

Một chất điểm dao động điều hoà. Biết khoảng thời gian giữa năm lần liên tiếp động năng của chất điểm bằng thế năng của hệ là 0,4 s. Tần số của dao động là

A. 2,5 Hz.                  

B. 3,125 Hz.              

C. 5 Hz.                  

D. 6,25 Hz.

Phân tích và Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí của vật khi động năng bằng thế năng.

Trong dao động điều hoà, cơ năng toàn phần \(E\) của hệ được bảo toàn và bằng tổng động năng \(W_đ\) và thế năng \(W_t\):

\( E = W_đ + W_t \)

Các công thức cụ thể là:

• Cơ năng toàn phần: \( E = \frac{1}{2} k A^2 \), trong đó \(k\) là độ cứng (hoặc hệ số đàn hồi tổng quát), \(A\) là biên độ dao động.
• Động năng: \( W_đ = \frac{1}{2} m v^2 \), trong đó \(m\) là khối lượng, \(v\) là vận tốc.
• Thế năng: \( W_t = \frac{1}{2} k x^2 \), trong đó \(x\) là li độ của chất điểm.

Theo đề bài, chúng ta xét trường hợp động năng bằng thế năng, tức là \( W_đ = W_t \).

Khi đó, ta có thể viết lại biểu thức cơ năng như sau:

\( E = W_t + W_t = 2 W_t \)

Bây giờ, chúng ta thay công thức của \(E\) và \(W_t\) vào:

\( \frac{1}{2} k A^2 = 2 \left( \frac{1}{2} k x^2 \right) \)

\( \frac{1}{2} k A^2 = k x^2 \)

Rút gọn \(k\) ở cả hai vế, ta được:

\( \frac{1}{2} A^2 = x^2 \)

Từ đây, chúng ta suy ra li độ \(x\) của chất điểm khi động năng bằng thế năng:

\( x^2 = \frac{A^2}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} \)

Vậy, động năng của chất điểm bằng thế năng của hệ khi chất điểm ở các vị trí \( x = \frac{A}{\sqrt{2}} \) và \( x = -\frac{A}{\sqrt{2}} \).

Bước 2: Xác định khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng.

Trong một chu kì dao động T, chất điểm sẽ đi qua các vị trí \( x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} \) tổng cộng 4 lần. Chúng ta có thể hình dung điều này bằng cách biểu diễn dao động trên đường tròn pha:

• Vị trí \( x = \frac{A}{\sqrt{2}} \) tương ứng với các pha \( \varphi = \frac{\pi}{4} \) và \( \varphi = \frac{7\pi}{4} \).
• Vị trí \( x = -\frac{A}{\sqrt{2}} \) tương ứng với các pha \( \varphi = \frac{3\pi}{4} \) và \( \varphi = \frac{5\pi}{4} \).

Các pha mà tại đó \( W_đ = W_t \) là \( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \) trong một chu kì \( 2\pi \).

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng chính là khoảng thời gian để pha dao động thay đổi một góc \( \Delta\varphi \). Quan sát các góc pha trên, ta thấy sự chênh lệch giữa các pha liên tiếp là:

\( \Delta\varphi = \frac{3\pi}{4} – \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \) (hoặc \( \frac{5\pi}{4} – \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \), v.v.)

Mối liên hệ giữa khoảng thời gian \( \Delta t \) và góc quay \( \Delta\varphi \) là \( \Delta t = \frac{\Delta\varphi}{\omega} \).
Với tần số góc \( \omega = \frac{2\pi}{T} \), khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp này (\( \Delta t_0 \)) là:

\( \Delta t_0 = \frac{\Delta\varphi}{\omega} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{2\pi}{T}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{4} \)

Vậy, khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là \( \frac{T}{4} \).

Bước 3: Sử dụng thông tin “năm lần liên tiếp” để tìm chu kì T.

Đề bài cho biết khoảng thời gian giữa năm lần liên tiếp động năng bằng thế năng là 0,4 s.

Nếu có 5 lần liên tiếp xuất hiện một sự kiện, thì sẽ có \( 5 – 1 = 4 \) khoảng thời gian giữa chúng. Mỗi khoảng thời gian này chính là \( \Delta t_0 = \frac{T}{4} \) mà chúng ta vừa tìm được.

Ví dụ: Lần 1 \(\xrightarrow{\Delta t_0}\) Lần 2 \(\xrightarrow{\Delta t_0}\) Lần 3 \(\xrightarrow{\Delta t_0}\) Lần 4 \(\xrightarrow{\Delta t_0}\) Lần 5.

Tổng thời gian \( \Delta t_{tổng} \) được cho là 0,4 s. Vậy:

\( \Delta t_{tổng} = 4 \times \Delta t_0 \)

Thay số liệu vào:

\( 0,4 = 4 \times \frac{T}{4} \)

\( 0,4 = T \)

Vậy, chu kì của dao động là \( T = 0,4 \) s.

Bước 4: Tính tần số của dao động.

Tần số \( f \) và chu kì \( T \) có mối liên hệ nghịch đảo với nhau:

\( f = \frac{1}{T} \)

Với \( T = 0,4 \) s mà chúng ta vừa tính được, tần số \( f \) sẽ là:

\( f = \frac{1}{0,4} = \frac{10}{4} = 2,5 \) Hz.

Kết luận:

Tần số của dao động là 2,5 Hz.

So sánh với các đáp án đã cho:

A. 2,5 Hz. (Đúng)
B. 3,125 Hz.
C. 5 Hz.
D. 6,25 Hz.

Vậy, đáp án chính xác là A.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xác định các đại lượng trong dao động điều hoà khi có sự chuyển hoá năng lượng. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!

Chúc các em học tốt!