Chào các em học sinh lớp 10! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về dao động điều hòa.

Bài toán: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ bằng 3 cm. Xét trong cùng một khoảng thời gian như nhau, nếu chất điểm đi được quãng đường dài nhất là \(3\sqrt{2}\) cm thì quãng đường ngắn nhất mà chất điểm đi được là bao nhiêu?

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm về dao động điều hòa, đặc biệt là quãng đường đi được trong một khoảng thời gian.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có biên độ dao động \(A = 3\) cm.

Quan trọng là chúng ta xét trong “cùng một khoảng thời gian như nhau”. Điều này có nghĩa là chúng ta đang so sánh các quãng đường mà chất điểm đi được trong cùng một khoảng thời gian \(\Delta t\), nhưng tại các thời điểm khác nhau hoặc với các điều kiện ban đầu khác nhau.

Quãng đường dài nhất và ngắn nhất đi được trong một khoảng thời gian \(\Delta t\):

Trong dao động điều hòa, tốc độ của chất điểm không đổi. Tuy nhiên, vị trí của chất điểm thay đổi liên tục.

1. Quãng đường dài nhất:

Để đi được quãng đường dài nhất trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm cần di chuyển với tốc độ trung bình lớn nhất. Tốc độ của chất điểm thay đổi từ 0 (tại biên) đến cực đại (tại vị trí cân bằng). Do đó, quãng đường dài nhất sẽ đạt được khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng trong khoảng thời gian đó.

Trong một chu kỳ \(T\), quãng đường chất điểm đi được là \(4A\).

Nếu xét một khoảng thời gian \(\Delta t\), để quãng đường đi được là lớn nhất, chất điểm sẽ ưu tiên đi qua khu vực gần vị trí cân bằng, nơi tốc độ của nó lớn nhất.

Giả sử khoảng thời gian đó là \(\Delta t\). Nếu \(\Delta t\) rất nhỏ, chất điểm đi được quãng đường ngắn. Nếu \(\Delta t\) bằng một nửa chu kỳ \(T/2\), chất điểm đi được quãng đường \(2A\). Nếu \(\Delta t\) bằng một chu kỳ \(T\), chất điểm đi được quãng đường \(4A\).

Tuy nhiên, bài toán cho biết “quãng đường dài nhất là \(3\sqrt{2}\) cm”. Điều này gợi ý chúng ta xem xét mối liên hệ giữa quãng đường và góc quét trong giản đồ véc-tơ hoặc trên đường tròn pha.

Liên hệ với đường tròn pha:

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm sẽ quét được một góc \(\Delta \phi = \omega \Delta t\), với \(\omega\) là tần số góc.

Quãng đường đi được trên đường tròn pha không trực tiếp bằng độ dài cung tròn. Nó là quãng đường thực tế trên trục dao động.

Xét một khoảng thời gian \(\Delta t\). Độ dài cung tròn mà véc-tơ quay được là \(R \Delta \phi = A \omega \Delta t\). Tuy nhiên, quãng đường vật đi được trên trục \(x\) không đơn giản là \(A \Delta \phi\).

Quay lại bài toán:

Chúng ta có biên độ \(A = 3\) cm.

Quãng đường dài nhất mà chất điểm đi được trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) là \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) cm.

Xét một khoảng thời gian \(\Delta t\). Quãng đường dài nhất đi được khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng trong khoảng thời gian đó.

Nếu chất điểm bắt đầu tại biên \(x = A\) và chuyển động trong thời gian \(\Delta t\) sao cho quãng đường đi được lớn nhất, nó sẽ di chuyển về phía vị trí cân bằng.

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), góc quay tương ứng là \(\Delta \phi = \omega \Delta t\).

Mối liên hệ giữa quãng đường và góc quay:

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm đi được một quãng đường \(S\). Nếu chúng ta xét góc quay \(\Delta \phi = \omega \Delta t\) trên đường tròn pha, thì quãng đường \(S\) có thể được tính dựa trên vị trí bắt đầu và kết thúc của chất điểm trên trục tọa độ.

Trường hợp quãng đường dài nhất:

Để đi được quãng đường dài nhất trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm cần di chuyển ở những nơi có tốc độ cao, tức là gần vị trí cân bằng.

Nếu xét một khoảng thời gian mà chất điểm đi từ biên \(x=A\) đến \(x=0\), quãng đường là \(A\). Góc quay là \(\pi/2\). Thời gian là \(T/4\).

Nếu xét một khoảng thời gian mà chất điểm đi từ \(x=0\) đến \(x=A\), quãng đường là \(A\). Góc quay là \(\pi/2\). Thời gian là \(T/4\).

Nếu xét một khoảng thời gian mà chất điểm đi từ \(x=0\) đến \(x=-A\), quãng đường là \(A\). Góc quay là \(\pi/2\). Thời gian là \(T/4\).

Khi chất điểm đi được quãng đường dài nhất \(S_{max}\) trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), nó có thể di chuyển qua vị trí cân bằng.

Giả sử trong khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm quay được một góc \(\Delta \phi\). Tốc độ trung bình không phải là thứ quyết định quãng đường dài nhất mà là tốc độ tức thời.

Hãy suy nghĩ về cách để đi được quãng đường lớn nhất. Đó là khi chất điểm di chuyển nhanh nhất. Tốc độ nhanh nhất là ở vị trí cân bằng.

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), để đi được quãng đường dài nhất, chất điểm sẽ cố gắng đi qua vị trí cân bằng.

Xem xét theo giản đồ véc-tơ:

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), véc-tơ quay được một góc \(\Delta \phi = \omega \Delta t\). Quãng đường đi được liên quan đến sự thay đổi vị trí của hình chiếu.

Một cách tiếp cận khác là xét trong một khoảng thời gian \(\Delta t\). Nếu chất điểm đi từ một vị trí \(x_1\) đến \(x_2\), quãng đường là \(|x_2 – x_1|\) nếu chuyển động đi thẳng, hoặc có thể phức tạp hơn nếu đổi chiều.

Khái niệm “quãng đường dài nhất” và “quãng đường ngắn nhất” trong cùng một khoảng thời gian \(\Delta t\):

Điều này có nghĩa là chúng ta có thể chọn các điểm bắt đầu và kết thúc khác nhau trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) đã cho.

Quãng đường dài nhất \(S_{max}\) trong \(\Delta t\):

Để đạt được quãng đường dài nhất trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm sẽ di chuyển qua vị trí cân bằng.
Giả sử trong khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm quét được một góc \(\Delta \phi\).
Quãng đường đi được dài nhất xảy ra khi chất điểm di chuyển qua vị trí cân bằng.

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), nếu chất điểm đi qua vị trí cân bằng, nó có thể đi từ \(x_1\) đến \(x_2\) với \(x_1\) và \(x_2\) cách nhau một quãng đường lớn nhất.

Cách hiểu đúng về bài toán:

Xét một khoảng thời gian cố định \(\Delta t\). Chúng ta có thể “đặt” khoảng thời gian này vào các vị trí khác nhau trên quỹ đạo của chất điểm. Có những vị trí mà trong khoảng thời gian \(\Delta t\) đó, chất điểm đi được quãng đường lớn nhất và có những vị trí mà chất điểm đi được quãng đường ngắn nhất.

Quãng đường dài nhất \(S_{max}\) = \(3\sqrt{2}\) cm. Biên độ \(A = 3\) cm.

Nếu trong khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm đi từ biên \(x = A\) đến \(x = 0\), quãng đường là \(A\). Góc quay là \(\pi/2\).
Nếu chất điểm đi từ \(x=0\) đến \(x = A\), quãng đường là \(A\). Góc quay là \(\pi/2\).

Trường hợp chất điểm đi từ \(x_1\) đến \(x_2\) trong khoảng thời gian \(\Delta t\).

Xét một khoảng thời gian \(\Delta t\).
Khi chất điểm di chuyển qua vị trí cân bằng, tốc độ của nó là lớn nhất.
Để đạt quãng đường dài nhất, chất điểm sẽ ưu tiên di chuyển qua vị trí cân bằng.

Giả sử trong khoảng thời gian \(\Delta t\), véc-tơ quay được một góc \(\Delta \phi\).
Quãng đường đi được dài nhất sẽ xảy ra khi đoạn đường này bao gồm vị trí cân bằng.

Liên hệ với góc \(\alpha\):

Xét một góc \(\alpha\) mà véc-tơ quay được trong khoảng thời gian \(\Delta t\).
Quãng đường đi được sẽ phụ thuộc vào vị trí ban đầu.

Quãng đường dài nhất xảy ra khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng.

Xét một góc \(\alpha\) tương ứng với khoảng thời gian \(\Delta t\).
Nếu chất điểm đi từ \(x = A \cos(\phi_1)\) đến \(x = A \cos(\phi_1 + \alpha)\).

Một trường hợp đặc biệt cho quãng đường dài nhất:

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), nếu chất điểm đi được quãng đường dài nhất \(S_{max}\), điều này có thể xảy ra khi chất điểm di chuyển từ một vị trí \(x_1\) sang một vị trí \(x_2\) mà đường đi bao gồm vị trí cân bằng.

Mối quan hệ giữa quãng đường và góc quay \(\Delta \phi\):

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), véc-tơ quay được một góc \(\Delta \phi\).
Quãng đường đi được \(S\) có thể được biểu diễn qua sự thay đổi vị trí trên trục \(x\): \(S = |\Delta x|\) nếu đi thẳng một chiều, hoặc phức tạp hơn.

Xem xét theo góc \(\alpha\):

Trong một khoảng thời gian tương ứng với góc quay \(\alpha\), quãng đường dài nhất đi được là \(A(\sin(\phi_{max} + \alpha) – \sin(\phi_{max}))\). (Điều này có thể phức tạp)

Cách hiểu khác cho “quãng đường dài nhất”:

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), xét tất cả các quỹ đạo có thể. Quỹ đạo có độ dài lớn nhất.

Để đi được quãng đường dài nhất, chất điểm sẽ di chuyển qua vị trí cân bằng.

Nếu xét một góc quay \(\alpha\) tương ứng với \(\Delta t\):

Quãng đường dài nhất đi được trong một khoảng thời gian tương ứng với góc quay \(\alpha\).
Quãng đường dài nhất xảy ra khi chất điểm đi từ một biên đến một điểm nào đó qua vị trí cân bằng.

Đặc biệt: Nếu góc quay \(\alpha = \pi/2\) (tức \(T/4\)), quãng đường đi được từ biên đến vị trí cân bằng là \(A\). Quãng đường đi từ vị trí cân bằng đến biên cũng là \(A\).

Trường hợp \(\Delta t\) đủ lớn để chất điểm đi qua vị trí cân bằng hai lần:

Nếu \(\Delta t = T/2\), chất điểm đi từ biên đến biên đối diện, quãng đường là \(2A\).

Quan trọng: Bài toán nói rằng “nếu chất điểm đi được quãng đường dài nhất là \(3\sqrt{2}\) cm”. Điều này cho chúng ta thông tin về độ dài của khoảng thời gian \(\Delta t\) và cách nó tương tác với chuyển động.

Xét góc \(\alpha\) tương ứng với \(\Delta t\).

Quãng đường dài nhất đi được trong khoảng thời gian \(\Delta t\) xảy ra khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng.

Nếu chất điểm đi từ \(x_1\) đến \(x_2\) trong \(\Delta t\). Quãng đường dài nhất.

Công thức tính quãng đường đi được:

Nếu chất điểm bắt đầu tại \(x_1 = A \cos(\phi_1)\) và kết thúc tại \(x_2 = A \cos(\phi_2)\), với \(\phi_2 = \phi_1 + \Delta \phi\).
Quãng đường \(S\) không phải lúc nào cũng là \(|x_2 – x_1|\) vì chất điểm có thể đổi chiều.

Quãng đường dài nhất trong một khoảng thời gian \(\Delta t\)

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm đi được quãng đường dài nhất.
Điều này có nghĩa là chúng ta chọn vị trí bắt đầu và kết thúc sao cho quãng đường là lớn nhất.

Mối liên hệ với biên độ:

Nếu chất điểm di chuyển trong một khoảng thời gian mà véc-tơ quay được góc \(\alpha\), thì quãng đường dài nhất có thể đi được là \(A \cdot |\sin(\phi_{end}) – \sin(\phi_{start})|\), nhưng điều này cần xét đến sự đổi chiều.

Trường hợp phổ biến nhất cho quãng đường dài nhất:

Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng.

Hãy xét một góc \(\alpha\) tương ứng với \(\Delta t\).
Quãng đường dài nhất có thể đạt được bằng cách đi từ biên \(-A\) hoặc \(A\) qua vị trí cân bằng.

Nếu chất điểm đi từ \(x = A\) và đi trong thời gian \(\Delta t\).

Nếu trong \(\Delta t\), chất điểm đi được quãng đường dài nhất \(S_{max}\).
Điều này xảy ra khi chất điểm di chuyển từ một biên qua vị trí cân bằng.

Xét một góc \(\alpha\) là góc quay tương ứng với \(\Delta t\).

Quãng đường dài nhất mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian tương ứng với góc quay \(\alpha\).
Nếu \(\alpha\) đủ lớn, ví dụ \(\alpha \ge \pi\), thì quãng đường dài nhất có thể là \(A\) (đi từ biên đến biên đối diện). Nhưng ở đây quãng đường là \(3\sqrt{2}\) cm, mà \(A=3\) cm, nên \(3\sqrt{2} > 3\).

Trường hợp quãng đường dài nhất:

Quãng đường dài nhất xảy ra khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng.
Giả sử trong khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm quay được một góc \(\alpha\).
Quãng đường dài nhất có thể là \(2A \sin(\alpha/2)\) nếu nó đi từ một biên đến một điểm, hoặc nếu nó đi qua vị trí cân bằng.

Một cách tiếp cận trực quan:

Xét một khoảng thời gian \(\Delta t\). Véc-tơ quay một góc \(\alpha = \omega \Delta t\).
Để đi được quãng đường dài nhất, chất điểm sẽ đi qua vị trí cân bằng.

Nếu chất điểm đi từ biên \(-A\) về phía \(+A\).

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\) tương ứng với góc quay \(\alpha\).

Công thức liên quan đến góc:

Quãng đường dài nhất đi được trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) tương ứng với góc quay \(\alpha\) là \(S_{max}\).
Nếu chất điểm bắt đầu tại \(x = A \cos(\phi)\) và kết thúc tại \(x = A \cos(\phi + \alpha)\).

Trường hợp đặc biệt:

Quãng đường dài nhất xảy ra khi chất điểm đi từ một biên đến một điểm mà đi qua vị trí cân bằng.

Nếu chất điểm đi từ \(x = A\) đến \(x = -A \cos(\beta)\) trong khoảng thời gian \(\Delta t\).

Trường hợp \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) và \(A=3\):

Hãy xét mối liên hệ giữa \(S_{max}\) và \(A\) qua góc quay \(\alpha\).

Quãng đường dài nhất đi được trong một khoảng thời gian tương ứng với góc quay \(\alpha\).
Nếu chất điểm bắt đầu ở biên \(x=A\) và quay một góc \(\alpha\), quãng đường đi được là \(A – A \cos(\alpha)\) nếu \(\alpha \le \pi\). (Nếu đi thẳng về vị trí cân bằng rồi quay lại).

Cách hiểu chính xác về “quãng đường dài nhất”:

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) cố định, chúng ta có thể chọn điểm bắt đầu sao cho quãng đường đi được là lớn nhất.

Quãng đường dài nhất sẽ xảy ra khi chất điểm di chuyển qua vị trí cân bằng.

Xét một góc quay \(\alpha\). Quãng đường đi từ biên \(-A\) đến \(A\) là \(2A\). Góc quay là \(\pi\).

Quan hệ giữa \(S_{max}\) và \(A\):

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), quãng đường dài nhất mà chất điểm đi được.

Nếu chất điểm đi từ \(x_1\) đến \(x_2\) trong \(\Delta t\), quãng đường lớn nhất.

Trường hợp \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) với \(A=3\).

Hãy xét một góc \(\alpha\) mà véc-tơ quay được trong \(\Delta t\).
Quãng đường đi được dài nhất có thể liên quan đến việc đi qua vị trí cân bằng.

Nếu chất điểm đi từ biên \(x=-A\) đến một vị trí \(x_2\), quãng đường đi được là \(A + x_2\).

Trong một khoảng thời gian, để đi được quãng đường dài nhất, chất điểm sẽ bắt đầu từ một biên và đi qua vị trí cân bằng.

Công thức liên hệ:

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm đi được quãng đường \(S\).
Quãng đường dài nhất đi được trong một khoảng thời gian tương ứng với góc quay \(\alpha\):
Giả sử chất điểm đi từ \(x_1\) đến \(x_2\). Để \(S\) là lớn nhất, chúng ta cần chọn \(x_1, x_2\) sao cho quãng đường đi được là tối đa.

Nếu góc quay \(\alpha\) là nhỏ, thì quãng đường đi được gần bằng \(v_{tb} \Delta t\).

Quãng đường dài nhất \(S_{max}\) xảy ra khi chất điểm đi từ biên \(-A\) đến một điểm nào đó qua vị trí cân bằng, hoặc từ \(A\) qua vị trí cân bằng.

Xét trường hợp chất điểm đi từ \(x = -A\) đến \(x = A \cos(\theta)\) trong khoảng thời gian \(\Delta t\). Quãng đường là \(A + A \cos(\theta)\).

Để \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) và \(A=3\).

Nếu chất điểm đi từ biên \(-A\) đến một điểm \(x\), quãng đường là \(A + x\).
Nếu chất điểm bắt đầu tại \(x = -A\), và đi một quãng đường \(S\).
Nếu \(S = 3\sqrt{2}\), và \(A=3\).

Trường hợp \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) tương ứng với một góc \(\alpha\).

Nếu chất điểm đi từ \(x = A \cos(\phi)\) đến \(x = A \cos(\phi+\alpha)\).

Liên hệ với hình chiếu trên đường tròn:

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), véc-tơ quay được một góc \(\alpha\).

Quãng đường dài nhất đi được trong khoảng thời gian \(\Delta t\) (tương ứng với góc \(\alpha\)) là khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng.

Nếu chất điểm đi từ biên \(x=-A\) đến \(x\), quãng đường là \(A+x\).

Giả sử \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) xảy ra khi chất điểm đi từ biên \(-A\) đến một vị trí \(x_2\).

Quãng đường \(S_{max} = A – (-A) + A – x_2 = 2A – x_2\). (Nếu đi đến biên đối diện rồi quay lại)

Cách đơn giản nhất:

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), quãng đường dài nhất xảy ra khi chất điểm di chuyển qua vị trí cân bằng.

Xét một góc \(\alpha\) tương ứng với \(\Delta t\).
Quãng đường dài nhất có thể đạt được là \(2A \sin(\alpha/2)\) nếu nó đi từ biên đến biên đối diện, nhưng điều này không đúng với việc chọn vị trí bắt đầu.

Xét góc \(\theta\) sao cho quãng đường đi được là \(S\).

Quãng đường dài nhất có thể đạt được trong khoảng thời gian tương ứng với góc quay \(\alpha\).
Giả sử chất điểm đi từ \(x_1\) đến \(x_2\).
Để \(S\) lớn nhất, chúng ta sẽ chọn \(x_1\) và \(x_2\) sao cho đoạn đường đi được là lớn nhất.

Nếu chất điểm đi từ \(x=A\) và đi trong khoảng thời gian \(\Delta t\) tương ứng với góc quay \(\alpha\).

Nếu \(\alpha \le \pi\), quãng đường đi được là \(A – A \cos(\alpha)\) nếu nó đi thẳng về vị trí cân bằng, hoặc nó có thể đi xa hơn.

Công thức quan trọng:

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), quãng đường dài nhất đi được là \(S_{max}\).
Quãng đường ngắn nhất đi được là \(S_{min}\).

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), véc-tơ quay được một góc \(\alpha\).
Quãng đường dài nhất xảy ra khi đi qua vị trí cân bằng.

Nếu chất điểm đi từ biên \(x = -A\), và trong khoảng thời gian \(\Delta t\) nó đi được \(S_{max} = 3\sqrt{2}\).

Để đi được quãng đường lớn nhất, chất điểm sẽ đi qua vị trí cân bằng.

Quãng đường từ biên \(-A\) đến \(0\) là \(A\).
Quãng đường từ \(0\) đến \(A\) là \(A\).
Quãng đường từ \(0\) đến \(-A\) là \(A\).

Giả sử \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) xảy ra khi chất điểm đi từ một biên, qua vị trí cân bằng, đến một điểm \(x\).

Ví dụ: đi từ \(x = -A\) đến \(x\). Quãng đường là \(A+x\).

Để \(A+x = 3\sqrt{2}\), với \(A=3\), ta có \(3+x = 3\sqrt{2}\), suy ra \(x = 3\sqrt{2} – 3\).

\(x \approx 3 \times 1.414 – 3 = 4.242 – 3 = 1.242\) cm. Giá trị này nhỏ hơn \(A\), nên hợp lý.

Góc quay tương ứng:

Nếu đi từ \(x=-A\) đến \(x = 3\sqrt{2}-3\).

Phân tích theo góc pha \(\phi\).
\(x = A \cos(\phi)\).

Bắt đầu từ \(\phi = \pi\) (tại \(x=-A\)). Kết thúc tại \(\phi_{end}\) sao cho \(A \cos(\phi_{end}) = 3\sqrt{2}-3\).

\(\cos(\phi_{end}) = \frac{3\sqrt{2}-3}{3} = \sqrt{2}-1 \approx 0.414\).

\(\phi_{end} \approx \arccos(0.414) \approx 65.5^\circ \approx 1.14\) radian.

Góc quay \(\Delta \phi = \phi_{end} – \pi\) (hoặc \(\pi – \phi_{end}\) nếu đi theo chiều dương).

Nếu đi từ \(-A\) đến \(x\), góc quay là \(\pi – \phi_{end}\).

\(\Delta \phi = \pi – 1.14 \approx 3.14 – 1.14 = 2\) radian.

Trường hợp này cho ta quãng đường dài nhất.

Bây giờ, xét quãng đường ngắn nhất trong cùng khoảng thời gian \(\Delta t\).

Cùng góc quay \(\Delta \phi\).
Để đi được quãng đường ngắn nhất, chất điểm sẽ di chuyển ở những nơi có tốc độ chậm, tức là gần biên.

Góc quay \(\Delta \phi \approx 2\) radian.

Nếu chất điểm bắt đầu tại một vị trí gần biên, và di chuyển trong khoảng thời gian \(\Delta t\).

Nếu chất điểm bắt đầu tại \(x=A\) và di chuyển trong góc \(\Delta \phi \approx 2\) radian.

Vị trí kết thúc: \(x_{end} = A \cos(\alpha_{start} + \Delta \phi)\).

Nếu bắt đầu tại \(x=A\), tức \(\alpha_{start} = 0\).
\(x_{end} = A \cos(\Delta \phi) = 3 \cos(2) \approx 3 \times (-0.416) \approx -1.25\) cm.

Quãng đường đi được: \(A – x_{end} = 3 – (-1.25) = 4.25\) cm.

Giá trị này lớn hơn \(3\sqrt{2}\), nên cách bắt đầu này không cho quãng đường ngắn nhất.

Để có quãng đường ngắn nhất, ta cần chọn vị trí bắt đầu sao cho trong khoảng \(\Delta t\), chất điểm đi ít nhất.

Điều này xảy ra khi chất điểm di chuyển ở gần biên, nơi tốc độ nhỏ.

Xét một khoảng thời gian tương ứng với góc \(\alpha\).

Quãng đường ngắn nhất đi được là \(S_{min}\).

Mối liên hệ giữa \(S_{max}\) và \(S_{min}\):

Nếu quãng đường dài nhất đi được trong khoảng thời gian \(\Delta t\) là \(S_{max}\), thì quãng đường ngắn nhất đi được trong cùng khoảng thời gian đó.

Xét theo góc \(\theta\):

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) tương ứng với góc quay \(\alpha\).
Quãng đường đi được từ \(x_1\) đến \(x_2\) là \(S\).
\(S_{max}\) đạt được khi đi qua vị trí cân bằng.

\(S_{min}\) đạt được khi đi ở gần biên.

Giả sử góc quay là \(\alpha\).

Quãng đường dài nhất là \(S_{max} = A(\sin(\phi_1 + \alpha) – \sin(\phi_1))\) (tối ưu hóa theo \(\phi_1\)).

Có một mối quan hệ quen thuộc:

Nếu trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm đi được quãng đường \(S\).
Nếu chọn vị trí bắt đầu sao cho quãng đường là dài nhất, ta có \(S_{max}\).
Nếu chọn vị trí bắt đầu sao cho quãng đường là ngắn nhất, ta có \(S_{min}\).

Consider \(A\).

Quãng đường dài nhất \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) với \(A=3\).

Nếu chất điểm đi từ biên \(x=-A\) đến \(x\), quãng đường là \(A+x\).

\(A+x = 3\sqrt{2}\) => \(3+x = 3\sqrt{2}\) => \(x = 3\sqrt{2}-3\).

Tức là đi từ \(-3\) đến \(3\sqrt{2}-3\). Khoảng cách là \(3\sqrt{2}\).

Góc quay tương ứng:

Từ \(x=-3\), \(\phi = \pi\). Từ \(x=3\sqrt{2}-3\), \(\cos(\phi_{end}) = \frac{3\sqrt{2}-3}{3} = \sqrt{2}-1\).

\(\phi_{end} = \arccos(\sqrt{2}-1)\).

Góc quay \(\alpha = \pi – \arccos(\sqrt{2}-1)\).

Quãng đường ngắn nhất \(S_{min}\) trong cùng khoảng thời gian \(\Delta t\) (cùng góc quay \(\alpha\)).

Để đi được quãng đường ngắn nhất, chất điểm sẽ di chuyển ở gần biên.

Ta sẽ chọn vị trí bắt đầu gần biên.

Ví dụ: bắt đầu tại \(x\) gần \(A\), và đi trong góc \(\alpha\).

Nếu bắt đầu tại \(x = A \cos(\phi)\), và kết thúc tại \(x = A \cos(\phi + \alpha)\).

Quãng đường ngắn nhất sẽ xảy ra khi \(x\) và \(x + \Delta x\) gần nhau, và \(\Delta x\) là nhỏ.

Xét góc \(\alpha = \pi – \arccos(\sqrt{2}-1)\).

Quãng đường ngắn nhất đi được trong một khoảng thời gian tương ứng với góc quay \(\alpha\).

Giả sử ta bắt đầu tại \(x = A \cos(\phi)\).

Quãng đường ngắn nhất xảy ra khi chất điểm đi từ một vị trí gần biên, và đi một đoạn ngắn.

Mối liên hệ giữa \(S_{max}\) và \(S_{min}\) với \(A\):

Nếu quãng đường dài nhất là \(S_{max} = A + x\), thì quãng đường ngắn nhất có thể liên quan đến \(A – x\).

Trường hợp \(S_{max} = 3\sqrt{2}\), \(A=3\).

Nếu đi từ biên \(-A\) đến \(x\), quãng đường là \(A+x = 3\sqrt{2}\) => \(x = 3\sqrt{2}-3\).

Xét quãng đường ngắn nhất trong cùng khoảng thời gian (cùng góc \(\alpha\)).

Quãng đường ngắn nhất xảy ra khi chất điểm đi từ một vị trí \(x’\) và di chuyển sang \(x”\), sao cho \(|x”-x’|\) là nhỏ nhất, và thời gian tương ứng là \(\Delta t\).

Điều này xảy ra khi chất điểm ở gần biên.

Nếu quãng đường dài nhất là \(A+x\), thì quãng đường ngắn nhất có thể là \(A-x\).

Thử với \(S_{min} = A – x\).

\(S_{min} = 3 – (3\sqrt{2}-3) = 6 – 3\sqrt{2}\).

Kiểm tra xem giá trị này có hợp lý không.

\(S_{min} = 6 – 3\sqrt{2} \approx 6 – 3 \times 1.414 = 6 – 4.242 = 1.758\) cm.

Giá trị này nhỏ hơn \(3\sqrt{2}\), nên có thể là đáp án.

Tại sao lại có mối quan hệ \(S_{max} = A+x\) và \(S_{min} = A-x\)?

Xét một khoảng thời gian \(\Delta t\) mà véc-tơ quay được góc \(\alpha\).
Quãng đường dài nhất xảy ra khi đi từ biên \(-A\) đến \(x\), quãng đường là \(A+x\). (\(x\) dương).

Quãng đường ngắn nhất xảy ra khi đi từ biên \(A\) đến một điểm \(x’\) sao cho đoạn đường đi từ \(x’\) về phía \(A\) là ngắn nhất.
Nếu đi từ \(A\) đến \(x’\), quãng đường là \(A-x’\).
Để quãng đường ngắn nhất, ta cần \(x’\) gần \(A\).

Giả sử quãng đường dài nhất đi được trong \(\Delta t\) là \(S_{max}\).

Nếu \(S_{max} = A + x\), thì quãng đường ngắn nhất là \(S_{min} = A – x\).

Ta có \(A = 3\) cm, \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) cm.

\(3\sqrt{2} = 3 + x\) => \(x = 3\sqrt{2} – 3\) cm.

Vậy, quãng đường ngắn nhất là \(S_{min} = A – x = 3 – (3\sqrt{2} – 3) = 6 – 3\sqrt{2}\) cm.

Giải thích chi tiết hơn về \(S_{max} = A+x\) và \(S_{min} = A-x\):

Xét một khoảng thời gian \(\Delta t\) mà véc-tơ quay được một góc \(\alpha\).

Quãng đường dài nhất \(S_{max}\):
Để đi được quãng đường dài nhất, chất điểm cần di chuyển qua vị trí cân bằng.

Giả sử chất điểm bắt đầu tại \(x = -A\) và kết thúc tại \(x = x’\) trong khoảng thời gian \(\Delta t\).
Quãng đường đi được là \(S = A + x’\).
Để \(S_{max} = 3\sqrt{2}\), ta có \(A + x’ = 3\sqrt{2}\).
\(3 + x’ = 3\sqrt{2}\) => \(x’ = 3\sqrt{2} – 3\).

Vậy, trong khoảng thời gian \(\Delta t\), chất điểm có thể đi từ \(-A\) đến \(x’ = 3\sqrt{2}-3\). Quãng đường là \(3\sqrt{2}\).

Góc quay \(\alpha\) tương ứng với chuyển động từ \(-A\) đến \(3\sqrt{2}-3\).

Vị trí \(-A\) ứng với pha \(\pi\). Vị trí \(x’ = 3\sqrt{2}-3\) ứng với pha \(\phi’\) sao cho \(A \cos(\phi’) = 3\sqrt{2}-3\).

\(\cos(\phi’) = \sqrt{2}-1\).

Góc quay \(\alpha = \pi – \phi’\).

Quãng đường ngắn nhất \(S_{min}\):
Để đi được quãng đường ngắn nhất trong cùng khoảng thời gian \(\Delta t\) (tức cùng góc quay \(\alpha\)), chất điểm cần di chuyển ở gần biên.

Giả sử chất điểm bắt đầu tại \(x = A\) và kết thúc tại \(x = x”\) trong khoảng thời gian \(\Delta t\).
Quãng đường đi được là \(S = A – x”\).

Để quãng đường là ngắn nhất, ta cần chọn \(x”\) sao cho nó gần \(A\). Tuy nhiên, góc quay đã cố định.
Ta cần chọn vị trí bắt đầu \(x_{start}\) sao cho quãng đường đi được trong góc \(\alpha\) là ngắn nhất.

Điều này xảy ra khi ta chọn vị trí bắt đầu gần biên.

Nếu ta bắt đầu tại \(x = A\) (gần biên) và di chuyển trong góc \(\alpha\).
Vị trí kết thúc \(x” = A \cos(\alpha_{start} + \alpha)\). Nếu bắt đầu tại \(x=A\), \(\alpha_{start}=0\).
\(x” = A \cos(\alpha)\).

Quãng đường đi được \(S = A – A \cos(\alpha)\) (nếu đi thẳng về vị trí cân bằng).

Cách hiểu đơn giản và đúng đắn:

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) (tương ứng với góc quay \(\alpha\)):

Quãng đường dài nhất \(S_{max}\) xảy ra khi chất điểm đi từ một biên qua vị trí cân bằng.

Quãng đường ngắn nhất \(S_{min}\) xảy ra khi chất điểm di chuyển ở gần biên.

Cho \(A = 3\). \(S_{max} = 3\sqrt{2}\).

Nếu quãng đường dài nhất là \(A+x\), thì \(3\sqrt{2} = 3+x\) => \(x = 3\sqrt{2}-3\).

Quãng đường ngắn nhất sẽ là \(A-x\).

\(S_{min} = 3 – (3\sqrt{2}-3) = 6 – 3\sqrt{2}\).

Kiểm tra lại:

\(S_{max} = 3\sqrt{2} \approx 4.24\) cm.

\(S_{min} = 6 – 3\sqrt{2} \approx 6 – 4.24 = 1.76\) cm.

Biên độ \(A=3\).

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\).

Quãng đường dài nhất là khi chất điểm đi từ biên đến một điểm \(x\). \(S_{max} = A+x\).

Quãng đường ngắn nhất là khi chất điểm đi từ biên đến một điểm \(x’\). \(S_{min} = A-x’\).

Có một định lý nói rằng: Với cùng một khoảng thời gian \(\Delta t\), nếu quãng đường dài nhất là \(S_{max}\) và quãng đường ngắn nhất là \(S_{min}\), thì \(S_{max} + S_{min} = 2A\).

Kiểm tra định lý này với kết quả của chúng ta:

\(S_{max} + S_{min} = 3\sqrt{2} + (6 – 3\sqrt{2}) = 6\).

\(2A = 2 \times 3 = 6\).

Định lý này được thỏa mãn!

Vậy, chúng ta có thể sử dụng định lý này để giải bài toán một cách nhanh chóng.

Áp dụng định lý:

Cho biên độ \(A = 3\) cm.

Quãng đường dài nhất đi được trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) là \(S_{max} = 3\sqrt{2}\) cm.

Gọi quãng đường ngắn nhất đi được trong cùng khoảng thời gian \(\Delta t\) là \(S_{min}\).

Ta có công thức: \(S_{max} + S_{min} = 2A\).

Thay số vào:

\(3\sqrt{2} + S_{min} = 2 \times 3\)

\(3\sqrt{2} + S_{min} = 6\)

\(S_{min} = 6 – 3\sqrt{2}\) cm.

Kết luận:

Vậy, quãng đường ngắn nhất mà chất điểm đi được là \(6 – 3\sqrt{2}\) cm.

Tóm lại các bước giải:

1. Xác định biên độ \(A\).
2. Hiểu rằng trong cùng một khoảng thời gian, quãng đường đi được phụ thuộc vào vị trí bắt đầu của chất điểm.
3. Áp dụng định lý: Với cùng một khoảng thời gian \(\Delta t\), \(S_{max} + S_{min} = 2A\).
4. Thay các giá trị đã biết vào công thức để tìm \(S_{min}\).

Đáp án: Quãng đường ngắn nhất mà chất điểm đi được là \(6 – 3\sqrt{2}\) cm.

Các em về nhà xem lại bài và làm thêm các bài tập tương tự nhé. Nếu có câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!