Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán về dao động điều hòa có phần hơi “hack não” một chút, nhưng nếu nắm vững phương pháp thì sẽ rất thú vị.

Bài toán của chúng ta là:

Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình: \( x = 10 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) \) (cm). Hãy tìm khoảng thời gian kể từ thời điểm ban đầu, chất điểm đi theo chiều dương qua vị trí \( x = \pm 5\sqrt{2} \) cm lần thứ 2028.

Đầu tiên, chúng ta cần phân tích phương trình dao động.

Phân tích phương trình dao động:

Phương trình dao động có dạng chung là \( x = A \cos(\omega t + \phi) \).

So sánh với phương trình đề bài, ta có:

• Biên độ dao động: \( A = 10 \) cm.
• Tần số góc: \( \omega = 2\pi \) rad/s.
• Pha ban đầu: \( \phi = \frac{\pi}{2} \) rad.

Xác định vị trí và chiều chuyển động tại thời điểm ban đầu (t=0):

Tại thời điểm \( t = 0 \), ta có:

\( x(0) = 10 \cos(2\pi \cdot 0 + \frac{\pi}{2}) = 10 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) cm.

Để xác định chiều chuyển động, chúng ta cần tính vận tốc \( v \). Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian:

\( v = x’ = -A\omega \sin(\omega t + \phi) \).

Tại thời điểm \( t = 0 \):

\( v(0) = -10 \cdot (2\pi) \sin(2\pi \cdot 0 + \frac{\pi}{2}) = -20\pi \sin(\frac{\pi}{2}) = -20\pi \cdot 1 = -20\pi \) cm/s.

Vì \( v(0) < 0 \), chất điểm đang chuyển động theo chiều âm tại thời điểm ban đầu.

Tìm thời điểm chất điểm đi qua các vị trí \( x = \pm 5\sqrt{2} \) cm:

Chúng ta cần tìm \( t \) sao cho \( x = 10 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = \pm 5\sqrt{2} \).

Trường hợp 1: \( x = 5\sqrt{2} \) cm

\( 10 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = 5\sqrt{2} \)

\( \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ta biết rằng \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Do đó, các nghiệm của phương trình cos là:

\( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi \), với \( k \) là số nguyên.

Xét nghiệm dương:

\( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)

\( 2\pi t = \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{2} + 2k\pi = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \)

\( t = -\frac{1}{8} + k \)

Vì thời gian \( t \) phải không âm, nên \( k \ge 1 \). Các thời điểm là: \( \frac{7}{8}, \frac{15}{8}, \frac{23}{8}, \dots \)

Xét nghiệm âm:

\( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \)

\( 2\pi t = -\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{2} + 2k\pi = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)

\( t = -\frac{3}{8} + k \)

Vì thời gian \( t \) phải không âm, nên \( k \ge 1 \). Các thời điểm là: \( \frac{5}{8}, \frac{13}{8}, \frac{21}{8}, \dots \)

Trường hợp 2: \( x = -5\sqrt{2} \) cm

\( 10 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = -5\sqrt{2} \)

\( \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ta biết rằng \( \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Do đó, các nghiệm của phương trình cos là:

\( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \), với \( k \) là số nguyên.

Xét nghiệm dương:

\( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)

\( 2\pi t = \frac{3\pi}{4} – \frac{\pi}{2} + 2k\pi = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)

\( t = \frac{1}{8} + k \)

Vì thời gian \( t \) phải không âm, nên \( k \ge 0 \). Các thời điểm là: \( \frac{1}{8}, \frac{9}{8}, \frac{17}{8}, \dots \)

Xét nghiệm âm:

\( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)

\( 2\pi t = -\frac{3\pi}{4} – \frac{\pi}{2} + 2k\pi = -\frac{5\pi}{4} + 2k\pi \)

\( t = -\frac{5}{8} + k \)

Vì thời gian \( t \) phải không âm, nên \( k \ge 1 \). Các thời điểm là: \( \frac{3}{8}, \frac{11}{8}, \frac{19}{8}, \dots \)

Phân tích chiều chuyển động:

Chúng ta cần chất điểm đi theo chiều dương. Vận tốc \( v = -20\pi \sin(2\pi t + \frac{\pi}{2}) \). Để \( v > 0 \), ta cần \( \sin(2\pi t + \frac{\pi}{2}) < 0 \).

Điều này xảy ra khi \( \pi + 2m\pi < 2\pi t + \frac{\pi}{2} < 2\pi + 2m\pi \), với \( m \) là số nguyên.

\( \frac{\pi}{2} + 2m\pi < 2\pi t < \frac{3\pi}{2} + 2m\pi \)

\( \frac{1}{4} + m < t < \frac{3}{4} + m \)

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các thời điểm đã tìm được ở trên và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện chuyển động theo chiều dương hay không.

Liệt kê các thời điểm theo thứ tự tăng dần và kiểm tra chiều chuyển động:

Tại \( t=0 \), \( x=0 \), \( v < 0 \).

Các thời điểm sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

1. \( t = \frac{1}{8} \): \( x = -5\sqrt{2} \). Pha là \( 2\pi(\frac{1}{8}) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} \). \( \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \), vậy \( v < 0 \). Chất điểm đi theo chiều âm.
2. \( t = \frac{3}{8} \): \( x = -5\sqrt{2} \). Pha là \( 2\pi(\frac{3}{8}) + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{4} \). \( \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \), vậy \( v > 0 \). Chất điểm đi theo chiều dương qua \( x = -5\sqrt{2} \). (Đây là lần đầu tiên).
3. \( t = \frac{5}{8} \): \( x = 5\sqrt{2} \). Pha là \( 2\pi(\frac{5}{8}) + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{4} \). \( \sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \), vậy \( v > 0 \). Chất điểm đi theo chiều dương qua \( x = 5\sqrt{2} \). (Đây là lần đầu tiên).
4. \( t = \frac{7}{8} \): \( x = 5\sqrt{2} \). Pha là \( 2\pi(\frac{7}{8}) + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4} \). \( \sin(\frac{9\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \), vậy \( v < 0 \). Chất điểm đi theo chiều âm.
5. \( t = \frac{9}{8} \): \( x = -5\sqrt{2} \). Pha là \( 2\pi(\frac{9}{8}) + \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{4} \). \( \sin(\frac{11\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \), vậy \( v < 0 \). Chất điểm đi theo chiều âm.
6. \( t = \frac{11}{8} \): \( x = -5\sqrt{2} \). Pha là \( 2\pi(\frac{11}{8}) + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{4} \). \( \sin(\frac{13\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \), vậy \( v > 0 \). Chất điểm đi theo chiều dương qua \( x = -5\sqrt{2} \). (Đây là lần thứ hai).
7. \( t = \frac{13}{8} \): \( x = 5\sqrt{2} \). Pha là \( 2\pi(\frac{13}{8}) + \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{4} \). \( \sin(\frac{15\pi}{4}) = \sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \), vậy \( v > 0 \). Chất điểm đi theo chiều dương qua \( x = 5\sqrt{2} \). (Đây là lần thứ hai).

Quan sát chu kỳ chuyển động:

Chu kỳ \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \) s.

Trong một chu kỳ dao động (1s), chất điểm đi qua mỗi vị trí hai lần. Tuy nhiên, chúng ta cần chú ý đến chiều chuyển động.

Xem xét lại các thời điểm mà chất điểm đi theo chiều dương qua \( x = \pm 5\sqrt{2} \):

• Đi qua \( x = -5\sqrt{2} \) theo chiều dương: \( t = \frac{3}{8}, \frac{11}{8}, \frac{19}{8}, \dots \) (dạng \( \frac{3}{8} + k \) với \( k \ge 0 \)).
• Đi qua \( x = 5\sqrt{2} \) theo chiều dương: \( t = \frac{5}{8}, \frac{13}{8}, \frac{21}{8}, \dots \) (dạng \( \frac{5}{8} + k \) với \( k \ge 0 \)).

Ta thấy, trong mỗi chu kỳ \( T=1 \)s, chất điểm đi theo chiều dương qua \( x = -5\sqrt{2} \) một lần và qua \( x = 5\sqrt{2} \) một lần. Do đó, trong một chu kỳ, có 2 lần chất điểm đi theo chiều dương qua các vị trí \( x = \pm 5\sqrt{2} \).

Liệu có ngoại lệ nào ở ban đầu không? Ban đầu \( t=0 \), \( x=0 \), \( v<0 \). Vị trí \( x = 5\sqrt{2} \) và \( x = -5\sqrt{2} \) đều chưa được đi qua theo chiều dương ngay từ ban đầu.

Chúng ta cần tìm lần thứ 2028. Có 2 lần trong một chu kỳ. Vậy chúng ta cần bao nhiêu chu kỳ?

Số lần đi qua trong \( N \) chu kỳ là \( 2N \).

Ta muốn tìm lần thứ 2028. Vậy số chu kỳ tương ứng là \( \frac{2028}{2} = 1014 \) chu kỳ.

Khi chất điểm đi qua lần thứ 2028 theo chiều dương, nó sẽ tương ứng với thời điểm kết thúc của chu kỳ thứ 1014.

Hãy xem xét chu kỳ đầu tiên. Lần thứ 1 là \( t = \frac{3}{8} \) (qua \( x = -5\sqrt{2} \)). Lần thứ 2 là \( t = \frac{5}{8} \) (qua \( x = 5\sqrt{2} \)).

Chu kỳ thứ \( k \) sẽ có lần thứ \( 2k-1 \) và lần thứ \( 2k \).

Lần thứ 2028 sẽ là lần thứ \( 2k \) với \( k = 1014 \).

Thời điểm của lần thứ \( 2k \) là khi nó đi qua \( x = 5\sqrt{2} \) theo chiều dương trong chu kỳ thứ \( k \).

Thời điểm của lần đi qua \( x = 5\sqrt{2} \) theo chiều dương trong chu kỳ thứ \( k \) (bắt đầu từ \( k=0 \)) là \( t = \frac{5}{8} + (k-1) \).

Vậy, lần thứ 2028 sẽ tương ứng với \( k = 1014 \). Tuy nhiên, cách đếm này hơi khó.

Chúng ta hãy đếm số lần đi qua vị trí \( x = 5\sqrt{2} \) theo chiều dương và \( x = -5\sqrt{2} \) theo chiều dương một cách riêng biệt.

Thời điểm đi qua \( x = -5\sqrt{2} \) theo chiều dương: \( t = \frac{3}{8}, \frac{3}{8}+1, \frac{3}{8}+2, \dots \)

Thời điểm đi qua \( x = 5\sqrt{2} \) theo chiều dương: \( t = \frac{5}{8}, \frac{5}{8}+1, \frac{5}{8}+2, \dots \)

Bây giờ chúng ta cần xem xét thời điểm nào là lần thứ 2028 trong tổng cộng cả hai vị trí.

Ta có thể gom các thời điểm lại và sắp xếp:

\( \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{3}{8}+1, \frac{5}{8}+1, \frac{3}{8}+2, \frac{5}{8}+2, \dots \)

Các thời điểm này có dạng \( \frac{3}{8} + m \) và \( \frac{5}{8} + m \), với \( m \) là số nguyên không âm.

Chúng ta cần tìm lần thứ 2028. Mỗi cặp \( (\frac{3}{8}+m, \frac{5}{8}+m) \) tương ứng với 2 lần đi qua.

Số cặp cần để có 2028 lần là \( \frac{2028}{2} = 1014 \) cặp.

Cặp thứ \( N \) sẽ bao gồm thời điểm đi qua \( x = -5\sqrt{2} \) theo chiều dương và \( x = 5\sqrt{2} \) theo chiều dương trong chu kỳ thứ \( N \).

Cặp thứ nhất là \( (\frac{3}{8}, \frac{5}{8}) \). Đây là lần thứ 1 và thứ 2.

Cặp thứ 1014 sẽ bao gồm:

• Lần thứ \( 2 \times 1014 – 1 = 2027 \): đi qua \( x = -5\sqrt{2} \) theo chiều dương trong chu kỳ thứ 1014. Thời điểm là \( t = \frac{3}{8} + (1014 – 1) = \frac{3}{8} + 1013 \).
• Lần thứ \( 2 \times 1014 = 2028 \): đi qua \( x = 5\sqrt{2} \) theo chiều dương trong chu kỳ thứ 1014. Thời điểm là \( t = \frac{5}{8} + (1014 – 1) = \frac{5}{8} + 1013 \).

Vậy, thời điểm chất điểm đi theo chiều dương qua vị trí \( x = \pm 5\sqrt{2} \) cm lần thứ 2028 là \( t = \frac{5}{8} + 1013 \) giây.

Tính toán thời gian:

\( t = 1013 + \frac{5}{8} = \frac{1013 \times 8 + 5}{8} = \frac{8104 + 5}{8} = \frac{8109}{8} \) giây.

Kiểm tra lại một lần nữa bằng phương pháp khác: Vòng tròn lượng giác.

Phương trình \( x = 10 \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi t) \). Ta có thể viết lại là \( x = -10 \sin(2\pi t) \).

Tại \( t=0 \), \( x=0 \), \( v = -20\pi \cos(2\pi t) \). \( v(0) = -20\pi < 0 \). Chất điểm ở gốc tọa độ và đang đi theo chiều âm.

Vị trí \( x = \pm 5\sqrt{2} \). Tức là \( -10 \sin(2\pi t) = \pm 5\sqrt{2} \).

\( \sin(2\pi t) = \mp \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ta cần chất điểm đi theo chiều dương, tức là \( v > 0 \).

\( v = -20\pi \cos(2\pi t) > 0 \implies \cos(2\pi t) < 0 \).

Điều này xảy ra khi \( \frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2\pi t < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \), hay \( \frac{1}{4} + k < t < \frac{3}{4} + k \).

Xét \( \sin(2\pi t) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

• \( 2\pi t = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies t = \frac{1}{8} + k \)
• \( 2\pi t = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \implies t = \frac{3}{8} + k \)

Xét \( \sin(2\pi t) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \):

• \( 2\pi t = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies t = -\frac{1}{8} + k \)
• \( 2\pi t = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies t = \frac{5}{8} + k \)

Bây giờ, chúng ta chỉ giữ lại các thời điểm \( t \) sao cho \( \frac{1}{4} + k < t < \frac{3}{4} + k \).

Với \( k=0 \): \( \frac{1}{4} < t < \frac{3}{4} \).

• \( t = \frac{1}{8} \) (không thỏa mãn)
• \( t = \frac{3}{8} \) (thỏa mãn, \( x = -10 \sin(\frac{3\pi}{4}) = -10 \frac{\sqrt{2}}{2} = -5\sqrt{2} \)). Đây là lần đầu tiên đi theo chiều dương qua \( x = -5\sqrt{2} \).
• \( t = -\frac{1}{8} \) (không lấy vì \( t<0 \))
• \( t = \frac{5}{8} \) (thỏa mãn, \( x = -10 \sin(\frac{5\pi}{4}) = -10 (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5\sqrt{2} \)). Đây là lần đầu tiên đi theo chiều dương qua \( x = 5\sqrt{2} \).

Với \( k=1 \): \( \frac{5}{4} < t < \frac{7}{4} \).

• \( t = \frac{1}{8} + 1 = \frac{9}{8} \) (không thỏa mãn)
• \( t = \frac{3}{8} + 1 = \frac{11}{8} \) (thỏa mãn, \( x = -5\sqrt{2} \)). Đây là lần thứ hai đi theo chiều dương qua \( x = -5\sqrt{2} \).
• \( t = -\frac{1}{8} + 1 = \frac{7}{8} \) (không thỏa mãn)
• \( t = \frac{5}{8} + 1 = \frac{13}{8} \) (thỏa mãn, \( x = 5\sqrt{2} \)). Đây là lần thứ hai đi theo chiều dương qua \( x = 5\sqrt{2} \).

Ta thấy cứ mỗi chu kỳ \( T=1 \)s, chất điểm lại có 2 lần đi theo chiều dương qua các vị trí \( x = \pm 5\sqrt{2} \). Cụ thể, nó sẽ đi qua \( x=-5\sqrt{2} \) trước rồi đến \( x=5\sqrt{2} \).

Lần thứ 1: \( t = \frac{3}{8} \) (qua \( x = -5\sqrt{2} \))

Lần thứ 2: \( t = \frac{5}{8} \) (qua \( x = 5\sqrt{2} \))

Lần thứ 3: \( t = \frac{11}{8} \) (qua \( x = -5\sqrt{2} \))

Lần thứ 4: \( t = \frac{13}{8} \) (qua \( x = 5\sqrt{2} \))

Ta cần lần thứ 2028.

Số chu kỳ để đạt được 2028 lần là \( \frac{2028}{2} = 1014 \) chu kỳ.

Lần thứ 2028 sẽ là lần đi qua \( x = 5\sqrt{2} \) theo chiều dương trong chu kỳ thứ 1014.

Thời điểm của lần thứ \( 2k \) là \( t = \frac{5}{8} + (k-1) \).

Với \( k=1014 \), \( t = \frac{5}{8} + (1014-1) = \frac{5}{8} + 1013 = \frac{8109}{8} \) giây.

Kết quả hoàn toàn khớp nhau. Rất tốt!

Vậy, câu trả lời cuối cùng là:

Khoảng thời gian kể từ thời điểm ban đầu, chất điểm đi theo chiều dương qua vị trí \( x = \pm 5\sqrt{2} \) cm lần thứ 2028 là \( \frac{8109}{8} \) giây.

Các em về nhà làm thêm các bài tương tự để củng cố kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.