Bài toán: Một chất phóng xạ sau thời gian \(t_1 = 6,4\) giờ có \(\Delta N_1\) nguyên tử bị phân rã, sau thời gian \(t_2 = 2t_1\) có \(\Delta N_2\) nguyên tử bị phân rã với \(\Delta N_2 = 1,8 \Delta N_1\). Chu kì bán rã \(T\) xấp xỉ bao nhiêu?

Phân tích bài toán:

Chúng ta có một chất phóng xạ. Số lượng nguyên tử bị phân rã trong một khoảng thời gian nhất định phụ thuộc vào số lượng ban đầu và chu kì bán rã của chất đó.

Chúng ta cần tìm chu kì bán rã \(T\). Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến số lượng nguyên tử bị phân rã.

Công thức cần sử dụng:

Số lượng nguyên tử còn lại sau thời gian \(t\) là:

\( N = N_0 e^{-\lambda t} \)

trong đó:

• \(N_0\) là số lượng nguyên tử ban đầu.
• \(N\) là số lượng nguyên tử còn lại sau thời gian \(t\).
• \(\lambda\) là hằng số phóng xạ.

Mối liên hệ giữa hằng số phóng xạ \(\lambda\) và chu kì bán rã \(T\) là:

\( \lambda = \frac{\ln 2}{T} \)

Số lượng nguyên tử bị phân rã trong khoảng thời gian \(t\) được tính bằng:

\( \Delta N = N_0 – N = N_0 – N_0 e^{-\lambda t} = N_0 (1 – e^{-\lambda t}) \)

Giải bài toán:

Theo đề bài, chúng ta có:

Sau thời gian \(t_1 = 6,4\) giờ, số nguyên tử bị phân rã là \(\Delta N_1\):

\( \Delta N_1 = N_0 (1 – e^{-\lambda t_1}) \) (1)

Sau thời gian \(t_2 = 2t_1\), số nguyên tử bị phân rã là \(\Delta N_2\):

\( \Delta N_2 = N_0 (1 – e^{-\lambda t_2}) \)

Thay \(t_2 = 2t_1\) vào ta được:

\( \Delta N_2 = N_0 (1 – e^{-\lambda (2t_1)}) = N_0 (1 – (e^{-\lambda t_1})^2) \) (2)

Theo đề bài, ta có mối quan hệ giữa \(\Delta N_1\) và \(\Delta N_2\):

\( \Delta N_2 = 1,8 \Delta N_1 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thế biểu thức (1) và (2) vào phương trình này:

\( N_0 (1 – (e^{-\lambda t_1})^2) = 1,8 \times N_0 (1 – e^{-\lambda t_1}) \)

Chúng ta có thể rút gọn \(N_0\) ở cả hai vế (vì \(N_0 \neq 0\)):

\( 1 – (e^{-\lambda t_1})^2 = 1,8 (1 – e^{-\lambda t_1}) \)

Đặt \(x = e^{-\lambda t_1}\). Phương trình trở thành:

\( 1 – x^2 = 1,8 (1 – x) \)

Chúng ta khai triển và sắp xếp lại phương trình này:

\( 1 – x^2 = 1,8 – 1,8x \)
\( x^2 – 1,8x + 1,8 – 1 = 0 \)
\( x^2 – 1,8x + 0,8 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai với ẩn \(x\). Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Ta thử phân tích nhân tử:

\( x^2 – 1,8x + 0,8 = 0 \)
\( x^2 – 1,0x – 0,8x + 0,8 = 0 \)
\( x(x – 1) – 0,8(x – 1) = 0 \)
\( (x – 1)(x – 0,8) = 0 \)

Từ đây, ta có hai nghiệm:

\( x – 1 = 0 \implies x = 1 \)
\( x – 0,8 = 0 \implies x = 0,8 \)

Chúng ta cần xem xét nghiệm nào hợp lệ. Nhớ lại rằng \(x = e^{-\lambda t_1}\). Vì \(\lambda > 0\) và \(t_1 > 0\), nên \(e^{-\lambda t_1}\) phải luôn nhỏ hơn 1.

Do đó, nghiệm \(x = 1\) là không thỏa mãn trong trường hợp này (vì điều này sẽ dẫn đến \(\Delta N_1 = 0\), trái với đề bài).

Vậy ta chọn nghiệm \(x = 0,8\).

\( e^{-\lambda t_1} = 0,8 \)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(t_1 = 6,4\) giờ vào:

\( e^{-\lambda (6,4)} = 0,8 \)

Để tìm \(\lambda\), chúng ta lấy logarit tự nhiên hai vế:

\( -\lambda (6,4) = \ln(0,8) \)
\( \lambda = -\frac{\ln(0,8)}{6,4} \)

Vì \(\ln(0,8)\) là một số âm, nên \(\lambda\) sẽ là một số dương, điều này hợp lý.

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm chu kì bán rã \(T\) sử dụng công thức \(\lambda = \frac{\ln 2}{T}\):

\( T = \frac{\ln 2}{\lambda} \)

Thế biểu thức của \(\lambda\) vào:

\( T = \frac{\ln 2}{-\frac{\ln(0,8)}{6,4}} = -\frac{6,4 \ln 2}{\ln(0,8)} \)

Chúng ta tính giá trị này:

\( \ln 2 \approx 0,693 \)
\( \ln(0,8) \approx -0,223 \)

\( T \approx -\frac{6,4 \times 0,693}{-0,223} \)
\( T \approx \frac{4,4352}{0,223} \)
\( T \approx 19,89 \) giờ

Kết luận:

Chu kì bán rã \(T\) của chất phóng xạ xấp xỉ 19,89 giờ.

Các em có câu hỏi nào không?