Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động liên quan đến thuyền trên sông, một dạng bài rất thú vị và thường gặp trong các kì thi nhé.

Đề bài: Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian ngược dòng 4km. Tính vận tốc của dòng nước?

Để giải quyết bài toán này một cách chi tiết, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích bài toán và đặt ẩn

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm vận tốc của dòng nước. Chúng ta cần đặt các biến để biểu diễn các đại lượng chưa biết.

• Gọi \(v_t\) (km/h) là vận tốc thực của thuyền khi nước lặng (vận tốc riêng của thuyền).
• Gọi \(v_n\) (km/h) là vận tốc của dòng nước.

Điều kiện: Vận tốc luôn là số dương, và thuyền phải đi được ngược dòng nên vận tốc riêng của thuyền phải lớn hơn vận tốc dòng nước. Tức là: \(v_t > v_n > 0\).

Từ đó, chúng ta có thể suy ra các vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng:

• Vận tốc của thuyền khi xuôi dòng: \(v_{xuoi} = v_t + v_n\) (km/h)
• Vận tốc của thuyền khi ngược dòng: \(v_{nguoc} = v_t – v_n\) (km/h)

Bước 2: Chuyển đổi đơn vị thời gian

Tổng thời gian thuyền đi xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 30 phút.

Ta đổi 4 giờ 30 phút ra đơn vị giờ:

4 giờ 30 phút \(=\) 4 \(+\) \(\frac{30}{60}\) giờ \(=\) 4 \(+\) 0.5 giờ \(=\) 4.5 giờ.

Bước 3: Lập các phương trình từ các dữ kiện của bài toán

Chúng ta có hai thông tin quan trọng để lập hai phương trình:

Dữ kiện 1: “Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút.”

Quãng đường xuôi dòng là 40km, quãng đường ngược dòng cũng là 40km.

• Thời gian thuyền xuôi dòng hết quãng đường 40km là: \(t_{xuoi} = \frac{40}{v_{xuoi}} = \frac{40}{v_t + v_n}\) (giờ)
• Thời gian thuyền ngược dòng hết quãng đường 40km là: \(t_{nguoc} = \frac{40}{v_{nguoc}} = \frac{40}{v_t – v_n}\) (giờ)

Tổng thời gian cả đi và về là 4.5 giờ, nên ta có phương trình (1):

\(\frac{40}{v_t + v_n} + \frac{40}{v_t – v_n} = 4.5\) (1)

Dữ kiện 2: “Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian ngược dòng 4km.”

• Thời gian thuyền xuôi dòng 5km là: \(\frac{5}{v_t + v_n}\) (giờ)
• Thời gian thuyền ngược dòng 4km là: \(\frac{4}{v_t – v_n}\) (giờ)

Theo đề bài, hai khoảng thời gian này bằng nhau, nên ta có phương trình (2):

\(\frac{5}{v_t + v_n} = \frac{4}{v_t – v_n}\) (2)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta sẽ giải hệ hai phương trình (1) và (2) để tìm \(v_t\) và \(v_n\).

Giải phương trình (2) trước vì nó đơn giản hơn:

\(\frac{5}{v_t + v_n} = \frac{4}{v_t – v_n}\)

Thực hiện phép nhân chéo:

\(5(v_t – v_n) = 4(v_t + v_n)\)

Bỏ ngoặc:

\(5v_t – 5v_n = 4v_t + 4v_n\)

Chuyển các hạng tử chứa \(v_t\) về một vế, các hạng tử chứa \(v_n\) về vế còn lại:

\(5v_t – 4v_t = 4v_n + 5v_n\)

\(v_t = 9v_n\) (Đây là một mối quan hệ rất quan trọng!)

Thay \(v_t = 9v_n\) vào phương trình (1):

Trước hết, chúng ta tính các biểu thức \(v_t + v_n\) và \(v_t – v_n\) theo \(v_n\):

• \(v_t + v_n = 9v_n + v_n = 10v_n\)
• \(v_t – v_n = 9v_n – v_n = 8v_n\)

Bây giờ, thay vào phương trình (1):

\(\frac{40}{10v_n} + \frac{40}{8v_n} = 4.5\)

Rút gọn các phân số:

\(\frac{4}{v_n} + \frac{5}{v_n} = 4.5\)

Cộng hai phân số cùng mẫu số:

\(\frac{4+5}{v_n} = 4.5\)

\(\frac{9}{v_n} = 4.5\)

Để tìm \(v_n\), ta có:

\(v_n = \frac{9}{4.5}\)

\(v_n = 2\)

Vậy, vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách tìm vận tốc thuyền riêng \(v_t\):

\(v_t = 9v_n = 9 \times 2 = 18\) km/h.

Kiểm tra điều kiện \(v_t > v_n > 0\): \(18 > 2 > 0\), điều kiện này thỏa mãn.

Tính tổng thời gian nếu \(v_t = 18\) km/h và \(v_n = 2\) km/h:

• Vận tốc xuôi dòng: \(18 + 2 = 20\) km/h.
• Vận tốc ngược dòng: \(18 – 2 = 16\) km/h.
• Thời gian xuôi dòng: \(\frac{40}{20} = 2\) giờ.
• Thời gian ngược dòng: \(\frac{40}{16} = 2.5\) giờ.
• Tổng thời gian: \(2 + 2.5 = 4.5\) giờ. (Phù hợp với đề bài!)

Bước 5: Kết luận

Vậy, vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích từng dữ kiện, đặt ẩn hợp lí và giải hệ phương trình một cách cẩn thận thì sẽ tìm ra lời giải chính xác. Hãy luyện tập thật nhiều dạng bài này để làm quen nhé!