Bài toán: Một công ty vận tải dự định điều một số xe tải vận chuyển 24 tấn hàng. Thực tế khi đến nơi, công ty bổ sung thêm 2 xe nữa nên mỗi xe chở ít nhất 2 tấn so với dự định. Hỏi số xe dự định được điều động là bao nhiêu?

Phân tích bài toán:

Chúng ta cần tìm số xe dự định ban đầu.

Có hai tình huống: dự định và thực tế.

Khối lượng hàng là không đổi: 24 tấn.

Số xe ở tình huống thực tế nhiều hơn tình huống dự định là 2 xe.

Khối lượng hàng mỗi xe chở ở tình huống thực tế ít hơn tình huống dự định là 2 tấn.

Đặt ẩn và lập phương trình:

Gọi số xe dự định điều động là \(x\) (xe).

Điều kiện: \(x\) là số nguyên dương và \(x > 0\).

Khi đó:

Số xe thực tế điều động là: \(x + 2\) (xe).

Khối lượng hàng dự định mỗi xe chở là: \(\frac{24}{x}\) (tấn/xe).

Khối lượng hàng thực tế mỗi xe chở là: \(\frac{24}{x+2}\) (tấn/xe).

Theo đề bài, thực tế mỗi xe chở ít hơn dự định 2 tấn, nên ta có phương trình:

\(\frac{24}{x} – \frac{24}{x+2} = 2\)

Giải phương trình:

Ta có phương trình: \(\frac{24}{x} – \frac{24}{x+2} = 2\)

Để giải phương trình này, trước hết ta quy đồng mẫu số:

\(\frac{24(x+2)}{x(x+2)} – \frac{24x}{x(x+2)} = 2\)

\(\frac{24x + 48 – 24x}{x(x+2)} = 2\)

\(\frac{48}{x(x+2)} = 2\)

Nhân cả hai vế với \(x(x+2)\) (với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne -2\), điều này thỏa mãn vì \(x\) là số xe dương):

\(48 = 2 \cdot x(x+2)\)

\(48 = 2x^2 + 4x\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(24 = x^2 + 2x\)

Chuyển vế để đưa về phương trình bậc hai dạng chuẩn:

\(x^2 + 2x – 24 = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này. Có nhiều cách để giải, ví dụ như phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Cách 1: Phân tích thành nhân tử

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng -24 và tổng bằng 2. Hai số đó là 6 và -4.

\(x^2 + 6x – 4x – 24 = 0\)

\(x(x+6) – 4(x+6) = 0\)

\((x-4)(x+6) = 0\)

Vậy, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(x – 4 = 0 \implies x = 4\)

Trường hợp 2: \(x + 6 = 0 \implies x = -6\)

Cách 2: Dùng công thức nghiệm

Với phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\), ta có \(\Delta = b^2 – 4ac\).

Trong trường hợp này, \(a=1\), \(b=2\), \(c=-24\).

\(\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-24)\)

\(\Delta = 4 + 96\)

\(\Delta = 100\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 – \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 – 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)

Kiểm tra điều kiện và kết luận:

Chúng ta đã đặt điều kiện \(x\) là số nguyên dương và \(x > 0\).

Nghiệm \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện này.

Nghiệm \(x = -6\) không thỏa mãn điều kiện vì số xe không thể là số âm.

Vậy, số xe dự định được điều động là 4 xe.

Kiểm tra lại kết quả:

Nếu dự định điều động 4 xe, thì mỗi xe chở: \(24 \div 4 = 6\) tấn.

Thực tế bổ sung thêm 2 xe, nên có \(4 + 2 = 6\) xe.

Thực tế mỗi xe chở: \(24 \div 6 = 4\) tấn.

Số tấn mỗi xe chở thực tế ít hơn dự định là: \(6 – 4 = 2\) tấn.

Kết quả này khớp với đề bài.

Đáp số: Số xe dự định được điều động là 4 xe.