Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về con lắc đơn, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Vật lý lớp 11 của chúng ta. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại kiến thức về định luật bảo toàn cơ năng và định luật II Newton cho chuyển động cong.

Đề bài: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 100 cm, vật có khối lượng 50 g dao động ở nơi có gia tốc trọng trường g = 9,81m/s² với biên độ góc 30°. Khi li độ góc là 8° thì tốc độ của vật và lực căng sợi dây là bao nhiêu?

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhé!

I. Tóm tắt các đại lượng đã cho:

• Chiều dài dây treo: \(L = 100 \text{ cm} = 1.0 \text{ m}\)
• Khối lượng vật: \(m = 50 \text{ g} = 0.05 \text{ kg}\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
• Biên độ góc: \(\alpha_0 = 30^\circ\)
• Li độ góc tại thời điểm khảo sát: \(\alpha = 8^\circ\)

Các đại lượng cần tìm:

• Tốc độ của vật \((v)\)
• Lực căng sợi dây \((T)\)

II. Giải chi tiết:

Bước 1: Tính tốc độ của vật \((v)\)

Để tính tốc độ của vật tại một li độ góc bất kỳ, chúng ta sẽ áp dụng định luật bảo toàn cơ năng. Chúng ta chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng (vị trí thấp nhất của vật).

1. Cơ năng tại vị trí biên (\(\alpha_0\)):

Tại vị trí biên, vật dừng lại momentarily (tức thời) để đổi chiều chuyển động, nên động năng của vật bằng 0. Thế năng của vật tại vị trí biên được tính bởi công thức:

\(W_{t_0} = mgL(1 – \cos \alpha_0)\)

Động năng tại vị trí biên: \(W_{đ_0} = 0\)

Vậy cơ năng tại vị trí biên là:

\(E_0 = W_{t_0} + W_{đ_0} = mgL(1 – \cos \alpha_0)\)      (1)

2. Cơ năng tại vị trí có li độ góc \(\alpha\):

Tại vị trí có li độ góc \(\alpha\), vật có cả động năng và thế năng.

Thế năng: \(W_t = mgL(1 – \cos \alpha)\)

Động năng: \(W_đ = \frac{1}{2}mv^2\)

Vậy cơ năng tại vị trí này là:

\(E = W_t + W_đ = mgL(1 – \cos \alpha) + \frac{1}{2}mv^2\)      (2)

3. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng tại vị trí biên và tại vị trí có li độ góc \(\alpha\) là bằng nhau (\(E_0 = E\)):

\(mgL(1 – \cos \alpha_0) = mgL(1 – \cos \alpha) + \frac{1}{2}mv^2\)

Chia cả hai vế cho \(m\) (vì \(m \ne 0\)) và sắp xếp lại để tìm \(v^2\):

\(gL(1 – \cos \alpha_0) = gL(1 – \cos \alpha) + \frac{1}{2}v^2\)

\(\frac{1}{2}v^2 = gL(1 – \cos \alpha_0) – gL(1 – \cos \alpha)\)

\(\frac{1}{2}v^2 = gL(\cos \alpha – \cos \alpha_0)\)

\(v^2 = 2gL(\cos \alpha – \cos \alpha_0)\)

\(v = \sqrt{2gL(\cos \alpha – \cos \alpha_0)}\)

4. Thay số và tính toán:

Trước tiên, ta tính giá trị của \(\cos 30^\circ\) và \(\cos 8^\circ\):

\(\cos 30^\circ \approx 0.8660\)

\(\cos 8^\circ \approx 0.9903\)

Thay các giá trị vào công thức tính \(v\):

\(v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0 \times (\cos 8^\circ – \cos 30^\circ)}\)

\(v = \sqrt{19.62 \times (0.9903 – 0.8660)}\)

\(v = \sqrt{19.62 \times 0.1243}\)

\(v = \sqrt{2.438586}\)

\(v \approx 1.562 \text{ m/s}\)

Vậy tốc độ của vật khi li độ góc là 8° là khoảng \(1.562 \text{ m/s}\).

Bước 2: Tính lực căng sợi dây \((T)\)

Để tính lực căng sợi dây, chúng ta sẽ áp dụng Định luật II Newton cho vật theo phương hướng tâm (phương của sợi dây) tại vị trí có li độ góc \(\alpha\).

Các lực tác dụng lên vật bao gồm:

• Trọng lực \(\vec{P} = m\vec{g}\) hướng thẳng đứng xuống dưới.
• Lực căng dây \(\vec{T}\) hướng dọc theo sợi dây, về phía điểm treo.

Chúng ta phân tích trọng lực \(\vec{P}\) thành hai thành phần:

• Thành phần tiếp tuyến: \(P_t = mg \sin \alpha\) (vuông góc với sợi dây, gây ra sự thay đổi tốc độ).
• Thành phần hướng tâm: \(P_r = mg \cos \alpha\) (dọc theo sợi dây, hướng ra xa điểm treo).

Áp dụng Định luật II Newton theo phương hướng tâm (hướng vào tâm quay, tức là hướng dọc theo sợi dây về phía điểm treo):

Lực hướng tâm gây ra bởi hợp lực của lực căng dây và thành phần hướng tâm của trọng lực:

\(F_{ht} = T – P_r\)

Mà \(F_{ht} = m a_{ht} = m \frac{v^2}{L}\)

Vậy ta có phương trình:

\(T – mg \cos \alpha = m \frac{v^2}{L}\)

Suy ra công thức tính lực căng dây:

\(T = mg \cos \alpha + m \frac{v^2}{L}\)

Hoặc có thể viết gọn lại:

\(T = m \left( g \cos \alpha + \frac{v^2}{L} \right)\)

Thay số và tính toán:

Chúng ta đã có \(v^2 = 2.438586 \text{ (m/s)}^2\) từ bước trên (sử dụng giá trị chính xác hơn để giảm sai số làm tròn).

Thay các giá trị vào công thức tính \(T\):

\(T = 0.05 \times \left( 9.81 \times \cos 8^\circ + \frac{2.438586}{1.0} \right)\)

\(T = 0.05 \times \left( 9.81 \times 0.9903 + 2.438586 \right)\)

\(T = 0.05 \times \left( 9.714843 + 2.438586 \right)\)

\(T = 0.05 \times 12.153429\)

\(T \approx 0.6077 \text{ N}\)

Vậy lực căng sợi dây khi li độ góc là 8° là khoảng \(0.6077 \text{ N}\).

III. Kết luận:

Khi con lắc đơn có li độ góc là 8° thì:

• Tốc độ của vật là khoảng \(1.562 \text{ m/s}\).
• Lực căng sợi dây là khoảng \(0.6077 \text{ N}\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách áp dụng các định luật vật lý để giải quyết bài toán con lắc đơn. Hãy luôn nhớ rằng việc phân tích các lực và năng lượng là chìa khóa để giải quyết các bài toán như thế này nhé!

Chúc các em học tốt!