Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải chi tiết bài toán về con lắc đơn này nhé. Đây là một bài toán hay, giúp chúng ta ôn lại các kiến thức cơ bản về dao động điều hòa của con lắc đơn và định luật bảo toàn cơ năng.

Tóm tắt đề bài:

• Khối lượng vật nặng: \(m = 6 \, kg\)
• Chiều dài dây treo: \(l = 10 \, cm = 0.1 \, m\)
• Góc lệch cực đại (biên độ góc): \(\alpha_0 = 10^\circ\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \, m/s^2\)

Chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu a, b, c, d.

a. Tần số góc của con lắc là \(10 m/s\)

Để tính tần số góc \(\omega\) của con lắc đơn, chúng ta sử dụng công thức:

\(\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\)

Thay số vào, ta có:

\(\omega = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100} = 10 \, rad/s\)

Nhận xét: Giá trị tính toán được là \(10 \, rad/s\). Phát biểu đưa ra giá trị là \(10 \, m/s\). Mặc dù số liệu đúng là 10, nhưng đơn vị của tần số góc phải là radian trên giây (\(rad/s\)), chứ không phải mét trên giây (\(m/s\)). Đơn vị \(m/s\) là đơn vị của tốc độ. Do đó, phát biểu này là sai về đơn vị.

b. Cơ năng của con lắc gần với giá trị \(0,1 J\)

Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn. Tại vị trí biên (góc lệch cực đại \(\alpha_0\)), động năng bằng 0 và cơ năng chính là thế năng cực đại.

Thế năng của con lắc ở độ cao \(h\) so với vị trí cân bằng là \(PE = mgh\). Độ cao cực đại \(h_{max}\) khi con lắc ở biên có thể tính theo công thức:

\(h_{max} = l(1 – \cos\alpha_0)\)

Vậy cơ năng của con lắc là:

\(W = mgh_{max} = mgl(1 – \cos\alpha_0)\)

Để tính \(\cos(10^\circ)\), ta sử dụng máy tính: \(\cos(10^\circ) \approx 0.9848\)

Thay các giá trị vào:

\(W = 6 \times 10 \times 0.1 \times (1 – \cos(10^\circ))\)

\(W = 6 \times (1 – 0.9848)\)

\(W = 6 \times 0.0152\)

\(W = 0.0912 \, J\)

Nhận xét: Giá trị cơ năng tính toán được là \(0.0912 \, J\). Phát biểu đưa ra giá trị \(0.1 \, J\). Hai giá trị này khá gần nhau (\(0.0912 \approx 0.1\)). Do đó, phát biểu này là gần đúng.

c. Tốc độ của vật nặng tại khi nó đi qua vị trí thấp là \(1,8 m/s\)

Vị trí thấp nhất chính là vị trí cân bằng của con lắc. Tại đây, động năng của vật đạt cực đại và thế năng bằng 0 (nếu chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng).

Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng \(W\) tại vị trí biên bằng động năng cực đại tại vị trí cân bằng:

\(W = \frac{1}{2}mv_{max}^2\)

Từ đó, ta có thể tính tốc độ cực đại \(v_{max}\):

\(v_{max} = \sqrt{\frac{2W}{m}}\)

Sử dụng giá trị \(W = 0.0912 \, J\) đã tính ở câu b:

\(v_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 0.0912}{6}}\)

\(v_{max} = \sqrt{\frac{0.1824}{6}}\)

\(v_{max} = \sqrt{0.0304}\)

\(v_{max} \approx 0.174 \, m/s\)

Nhận xét: Giá trị tốc độ cực đại tính toán được là xấp xỉ \(0.174 \, m/s\). Phát biểu đưa ra giá trị \(1.8 \, m/s\). Hai giá trị này khác nhau rất nhiều. Do đó, phát biểu này là sai.

d. Độ lớn li độ của con lắc khi thế năng bằng 2 lần động năng xấp xỉ \(1,5 cm\)

Theo đề bài, tại một vị trí nào đó, thế năng \(PE\) bằng 2 lần động năng \(KE\), tức là \(PE = 2KE\).

Cơ năng của con lắc là tổng của động năng và thế năng: \(W = KE + PE\).

Thay \(PE = 2KE\) vào, ta có:

\(W = KE + 2KE = 3KE\)

Và \(W = PE + \frac{PE}{2} = \frac{3}{2}PE\)

Từ đó suy ra thế năng tại vị trí đó bằng hai phần ba cơ năng toàn phần: \(PE = \frac{2}{3}W\).

Công thức thế năng tại li độ góc \(\alpha\) là \(PE = mgl(1 – \cos\alpha)\).

Công thức cơ năng là \(W = mgl(1 – \cos\alpha_0)\).

Vậy ta có phương trình:

\(mgl(1 – \cos\alpha) = \frac{2}{3} mgl(1 – \cos\alpha_0)\)

Rút gọn \(mgl\), ta được:

\(1 – \cos\alpha = \frac{2}{3} (1 – \cos\alpha_0)\)

Thay \(\cos\alpha_0 = \cos(10^\circ) \approx 0.9848\):

\(1 – \cos\alpha = \frac{2}{3} (1 – 0.9848)\)

\(1 – \cos\alpha = \frac{2}{3} \times 0.0152\)

\(1 – \cos\alpha = 0.010133…\)

\(\cos\alpha = 1 – 0.010133… = 0.989867…\)

Để tìm góc \(\alpha\), ta lấy arccos của giá trị này:

\(\alpha = \arccos(0.989867…) \approx 8.12^\circ\)

Li độ của con lắc ở đây thường được hiểu là độ dài cung \(s\), được tính bằng \(s = l\alpha\), với \(\alpha\) phải đổi ra radian.

Đổi \(\alpha\) sang radian: \(\alpha_{rad} = 8.12^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.1417 \, rad\)

Độ lớn li độ \(s\):

\(s = l\alpha_{rad} = 0.1 \, m \times 0.1417 \, rad = 0.01417 \, m\)

Đổi sang centimet: \(s = 1.417 \, cm\)

Nhận xét: Giá trị li độ tính toán được là xấp xỉ \(1.417 \, cm\). Phát biểu đưa ra giá trị \(1.5 \, cm\). Hai giá trị này rất gần nhau (\(1.417 \approx 1.5\)). Do đó, phát biểu này là gần đúng.

Tóm tắt kết quả:

• a. Sai (đơn vị).
• b. Gần đúng.
• c. Sai.
• d. Gần đúng.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách làm và hiểu rõ hơn về các đại lượng đặc trưng của con lắc đơn trong dao động điều hòa nhé!