Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về con lắc đơn dao động điều hoà. Đây là một dạng bài khá phổ biến và quan trọng, giúp chúng ta củng cố kiến thức về năng lượng trong dao động điều hoà.

Đề bài: Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng 500g được treo ở nơi có gia tốc trọng trường 10m/s^2. Biết con lắc đơn dao động điều hoà, tại vị trí có li độ góc 0,15 rad thì có tốc độ 8,7cm/s. Nếu cơ năng dao động là 16mJ thì chiều dài con lắc là bao nhiêu?

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải bài toán này nhé!

1. Tóm tắt các đại lượng đã cho:

• Khối lượng quả cầu: \(m = 500\text{g} = 0.5\text{ kg}\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10\text{ m/s}^2\)
• Li độ góc tại một thời điểm: \(\alpha = 0.15\text{ rad}\)
• Tốc độ tại thời điểm đó: \(v = 8.7\text{ cm/s} = 0.087\text{ m/s}\)
• Cơ năng dao động: \(W = 16\text{ mJ} = 0.016\text{ J}\)

Yêu cầu: Tìm chiều dài con lắc \(l\).

2. Phương pháp giải:

Vì con lắc đơn dao động điều hoà (ngụ ý rằng góc lệch là nhỏ), cơ năng của con lắc tại một vị trí bất kỳ được bảo toàn và bằng tổng động năng và thế năng tại vị trí đó.

Công thức tính cơ năng \(W\) của con lắc đơn khi dao động điều hoà (góc nhỏ) tại vị trí có li độ góc \(\alpha\) và tốc độ \(v\) là tổng của động năng \(K\) và thế năng \(U_t\):

\(W = K + U_t\)

Trong đó:

• Động năng của quả cầu: \(K = \frac{1}{2} m v^2\)
• Thế năng trọng trường (chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng): \(U_t = mgl(1 – \cos\alpha)\).

Vì con lắc dao động điều hoà, chúng ta có thể sử dụng công thức xấp xỉ cho thế năng khi góc \(\alpha\) nhỏ: \(1 – \cos\alpha \approx \frac{\alpha^2}{2}\).

Vậy, biểu thức cơ năng tổng quát cho dao động điều hoà của con lắc đơn sẽ là:

\(W = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} mgl\alpha^2\)

3. Tiến hành giải:

Bây giờ chúng ta sẽ thay các giá trị đã biết vào công thức trên:

\(0.016 = \frac{1}{2} (0.5) (0.087)^2 + \frac{1}{2} (0.5) (10) l (0.15)^2\)

Chúng ta sẽ tính toán từng thành phần một:

a. Tính toán thành phần động năng:

\(K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.087)^2\)

\(K = 0.25 \times 0.007569\)

\(K = 0.00189225\text{ J}\)

b. Tính toán thành phần thế năng:

\(U_t = \frac{1}{2} mgl\alpha^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10 \times l \times (0.15)^2\)

\(U_t = 0.25 \times 10 \times l \times 0.0225\)

\(U_t = 2.5 \times l \times 0.0225\)

\(U_t = 0.05625 l\)

c. Thay các giá trị vào phương trình cơ năng và giải tìm \(l\):

Ta có phương trình:

\(W = K + U_t\)

\(0.016 = 0.00189225 + 0.05625 l\)

Chuyển các số hạng đã biết sang một vế:

\(0.05625 l = 0.016 – 0.00189225\)

\(0.05625 l = 0.01410775\)

Cuối cùng, tính chiều dài \(l\):

\(l = \frac{0.01410775}{0.05625}\)

\(l \approx 0.25080444\text{ m}\)

Chúng ta làm tròn kết quả đến 3 chữ số có nghĩa (tùy thuộc vào độ chính xác của các đại lượng đầu vào):

\(l \approx 0.251\text{ m}\)

4. Kết luận:

Vậy, chiều dài của con lắc đơn là khoảng \(0.251\text{ m}\).

Các em nhớ ôn tập kỹ phần năng lượng trong dao động điều hoà và các công thức xấp xỉ cho góc nhỏ nhé. Chúc các em học tốt!