Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập khá thú vị về dao động điều hòa của con lắc lò xo nằm ngang. Đây là một dạng bài tập quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về năng lượng và phương trình dao động.

Đề bài: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng m=200g gắn với lò xo có độ cứng k=50 N/m. Bỏ qua ma sát. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn A=6cm rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Tại thời điểm t0, vật có li độ x=3cm và đang chuyển động theo chiều dương. Hỏi sau đó vật cần bao lâu để lần đầu tiên có động năng bằng 3 lần thế năng? Cho \( \pi^2 \) xấp xỉ 10.

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Tóm tắt và đổi đơn vị các đại lượng đã cho

• Khối lượng vật: \( m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg} \)
• Độ cứng của lò xo: \( k = 50 \text{ N/m} \)
• Biên độ dao động: \( A = 6 \text{ cm} = 0.06 \text{ m} \)
• Tại thời điểm \( t_0 \):
  • Li độ: \( x_0 = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m} \)
  • Vật chuyển động theo chiều dương (tức là vận tốc \( v_0 > 0 \))
• Yêu cầu: Tìm thời gian \( \Delta t \) kể từ sau \( t_0 \) để động năng \( K \) lần đầu tiên bằng 3 lần thế năng \( T \).
• Giá trị xấp xỉ: \( \pi^2 \approx 10 \)

Bước 2: Tính tần số góc của dao động (\(\omega\))

Tần số góc của con lắc lò xo được xác định bởi công thức:
\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
Thay số vào, ta có:
\( \omega = \sqrt{\frac{50 \text{ N/m}}{0.2 \text{ kg}}} = \sqrt{250} \text{ rad/s} \)
Để làm tròn số, chúng ta có thể viết lại:
\( \omega = \sqrt{25 \times 10} = 5\sqrt{10} \text{ rad/s} \)
Vì đề bài cho \( \pi^2 \approx 10 \), nên \( \pi \approx \sqrt{10} \).
Vậy, \( \omega \approx 5\pi \text{ rad/s} \)

Bước 3: Xác định pha ban đầu tại thời điểm \(t_0\)

Phương trình dao động điều hòa có dạng: \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \)
Tại thời điểm \( t_0 \), ta có \( x_0 = 3 \text{ cm} = A/2 \).
Để đơn giản, ta có thể chọn \( t_0 = 0 \) để xác định pha ban đầu \( \phi \). Khi đó, chúng ta sẽ tìm khoảng thời gian \( \Delta t \) kể từ \( t=0 \).
\( x(0) = A \cos(\phi) \)
\( 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm} \cdot \cos(\phi) \)
\( \cos(\phi) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
Từ đó, \( \phi = \pm \frac{\pi}{3} \)

Tiếp theo, ta dùng điều kiện về chiều chuyển động. Vận tốc của vật được cho bởi công thức:
\( v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi) \)
Tại thời điểm \( t_0=0 \), \( v(0) = -A\omega \sin(\phi) \).
Theo đề bài, vật chuyển động theo chiều dương, tức là \( v(0) > 0 \).
Vì \( A > 0 \) và \( \omega > 0 \), để \( v(0) > 0 \) thì \( -\sin(\phi) > 0 \), hay \( \sin(\phi) < 0 \). Trong hai giá trị của \( \phi \) là \( \frac{\pi}{3} \) và \( -\frac{\pi}{3} \), chỉ có \( \phi = -\frac{\pi}{3} \) làm cho \( \sin(\phi) < 0 \). Vậy, tại thời điểm \( t_0 \), pha của dao động là \( \theta_0 = -\frac{\pi}{3} \).

Bước 4: Xác định li độ \(x\) khi động năng bằng 3 lần thế năng (\(K = 3T\))

Năng lượng toàn phần của con lắc lò xo là: \( E = \frac{1}{2} k A^2 \)
Thế năng của con lắc lò xo là: \( T = \frac{1}{2} k x^2 \)
Động năng của con lắc lò xo là: \( K = E – T = \frac{1}{2} k A^2 – \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A^2 – x^2) \)

Theo đề bài, \( K = 3T \). Ta thay các biểu thức năng lượng vào:
\( \frac{1}{2} k (A^2 – x^2) = 3 \times \frac{1}{2} k x^2 \)
Rút gọn \( \frac{1}{2} k \):
\( A^2 – x^2 = 3x^2 \)
\( A^2 = 4x^2 \)
\( x^2 = \frac{A^2}{4} \)
\( x = \pm \frac{A}{2} \)
Vậy, động năng bằng 3 lần thế năng khi vật có li độ \( x = \pm 3 \text{ cm} \).

Bước 5: Tìm khoảng thời gian \(\Delta t\)

Tại thời điểm \( t_0 \), vật đang ở li độ \( x_0 = A/2 \) và pha \( \theta_0 = -\frac{\pi}{3} \).
Điều kiện \( K = 3T \) tương ứng với \( x = \pm A/2 \).
Chúng ta cần tìm thời điểm đầu tiên sau \( t_0 \) mà điều kiện này được thỏa mãn.
Vật bắt đầu từ \( x = A/2 \) với vận tốc dương, nghĩa là nó đang đi về phía biên dương \( x = A \).

Hãy xét sự thay đổi của pha dao động:
* Tại \( t_0 \), pha là \( \theta_0 = -\frac{\pi}{3} \).
* Khi vật chuyển động, pha \( \theta = \omega t + \phi \) sẽ tăng lên.
* Các giá trị của pha \( \theta \) mà tại đó \( \cos(\theta) = \pm \frac{1}{2} \) (tức là \( x = \pm A/2 \)) là:
\( \dots, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \dots \)

Bắt đầu từ pha \( \theta_0 = -\frac{\pi}{3} \), pha tiếp theo trong dãy tăng dần là \( \theta_f = \frac{\pi}{3} \).
Tại pha \( \theta_f = \frac{\pi}{3} \), li độ của vật là \( x_f = A \cos(\frac{\pi}{3}) = A \times \frac{1}{2} = \frac{A}{2} \).
Vận tốc tại thời điểm này là \( v_f = -A\omega \sin(\frac{\pi}{3}) = -A\omega \frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \). Đây là thời điểm mà vật đi qua vị trí \( x = A/2 \) nhưng đang chuyển động theo chiều âm (sau khi đạt biên dương và quay lại). Đây chính là lần đầu tiên sau \( t_0 \) mà điều kiện \( K = 3T \) được thỏa mãn (mặc dù li độ là \( A/2 \) giống \( t_0 \), nhưng chiều chuyển động đã khác).

Độ thay đổi pha là:
\( \Delta\theta = \theta_f – \theta_0 = \frac{\pi}{3} – \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} \text{ rad} \)

Khoảng thời gian cần tìm là:
\( \Delta t = \frac{\Delta\theta}{\omega} \)
\( \Delta t = \frac{\frac{2\pi}{3}}{5\pi} = \frac{2}{3 \times 5} = \frac{2}{15} \text{ s} \)

Vậy, sau \( \frac{2}{15} \) giây, động năng của vật sẽ lần đầu tiên bằng 3 lần thế năng.

Kết luận:

Sau khi phân tích kỹ lưỡng, chúng ta tìm được khoảng thời gian mà vật cần để lần đầu tiên có động năng bằng 3 lần thế năng kể từ thời điểm \( t_0 \) là \( \frac{2}{15} \) giây.
Chúc các em học tốt và hiểu rõ hơn về dao động điều hòa!