Đề bài: Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên tăng năng suất thêm 3 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy người đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút. Hãy tính năng suất dự kiến.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán và lập hệ phương trình để giải.

Bước 1: Xác định các ẩn số cần tìm

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm:
* Năng suất dự kiến của công nhân (số sản phẩm làm được trong 1 giờ).
* Thời gian dự định để hoàn thành kế hoạch.

Chúng ta sẽ đặt các ẩn như sau:
* Gọi \(x\) là năng suất dự kiến (sản phẩm/giờ). Với \(x > 0\).
* Gọi \(y\) là thời gian dự định (giờ). Với \(y > 0\).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn số

Dựa vào đề bài, chúng ta có thể suy ra:
* Tổng số sản phẩm cần làm là 120 sản phẩm.
* Mối quan hệ giữa tổng số sản phẩm, năng suất và thời gian là: Tổng sản phẩm = Năng suất × Thời gian.

Từ đó, ta có phương trình đầu tiên dựa trên kế hoạch dự định:
\(120 = x \times y\) (1)

Bây giờ, chúng ta phân tích phần diễn biến thực tế của công việc:
* Trong 2 giờ đầu, công nhân làm việc với năng suất dự kiến là \(x\) sản phẩm/giờ.
* Số sản phẩm làm được trong 2 giờ đầu là: \(2x\) sản phẩm.
* Sau 2 giờ, thời gian còn lại dự định làm là: \(y – 2\) giờ.
* Năng suất sau khi cải tiến tăng thêm 3 sản phẩm mỗi giờ, nên năng suất mới là: \(x + 3\) sản phẩm/giờ.
* Vì hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút, tức là thời gian thực tế làm là \(y – (1 \text{ giờ } 36 \text{ phút})\).
* Ta cần đổi 1 giờ 36 phút ra giờ: 36 phút = \(\frac{36}{60}\) giờ = \(\frac{3}{5}\) giờ = 0.6 giờ.
* Vậy, thời gian thực tế làm là: \(y – (1 + 0.6)\) giờ = \(y – 1.6\) giờ.

Tuy nhiên, cách tiếp cận này có thể hơi phức tạp để thiết lập phương trình thứ hai. Chúng ta hãy xem xét lại cách khác:

Sau khi làm được 2 giờ với năng suất \(x\), người công nhân còn lại số sản phẩm là: \(120 – 2x\).
Thời gian thực tế để hoàn thành số sản phẩm còn lại này với năng suất mới là \(x+3\) sản phẩm/giờ.
Thời gian thực tế để hoàn thành kế hoạch là: \(2\) giờ (đã làm) + thời gian làm số sản phẩm còn lại.

Hãy quay lại dữ kiện “hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút”. Điều này có nghĩa là:
Thời gian thực tế hoàn thành = Thời gian dự định – 1 giờ 36 phút.
Thời gian thực tế hoàn thành = \(y – 1.6\) giờ.

Bây giờ, chúng ta có thể biểu diễn tổng số sản phẩm (120) theo diễn biến thực tế:
* Sản phẩm làm trong 2 giờ đầu: \(2x\).
* Sản phẩm làm trong thời gian còn lại với năng suất mới: \((x+3) \times (\text{Thời gian còn lại thực tế})\).

Chúng ta cần tìm thời gian còn lại thực tế. Tổng thời gian thực tế là \(y – 1.6\). Thời gian đã làm là 2 giờ.
Vậy thời gian còn lại thực tế để làm với năng suất mới là: \((y – 1.6) – 2\) giờ.
Điều này không đúng. Thời gian thực tế hoàn thành kế hoạch là \(y – 1.6\) giờ.
Trong \(y – 1.6\) giờ này, 2 giờ đầu làm với năng suất \(x\), thời gian còn lại là \((y – 1.6) – 2\) giờ làm với năng suất \(x+3\).

Vậy, tổng số sản phẩm làm được là:
\(2x + (x+3) \times ((y – 1.6) – 2) = 120\)
\(2x + (x+3) \times (y – 3.6) = 120\)

Đây là phương trình thứ hai, nhưng nó có vẻ phức tạp với cả hai biến \(x\) và \(y\).
Chúng ta hãy thử một cách tiếp cận khác dựa trên thời gian.

Thời gian dự định: \(y\) giờ.
Thời gian thực tế hoàn thành: \(y – 1.6\) giờ.

Sản phẩm làm trong 2 giờ đầu với năng suất \(x\): \(2x\).
Số sản phẩm còn lại là \(120 – 2x\).
Thời gian để hoàn thành \(120 – 2x\) sản phẩm với năng suất mới \((x+3)\) là: \(\frac{120 – 2x}{x+3}\) giờ.

Tổng thời gian thực tế là thời gian 2 giờ đầu cộng với thời gian làm số sản phẩm còn lại:
\(2 + \frac{120 – 2x}{x+3} = y – 1.6\)

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình với hai ẩn \(x\) và \(y\):
1. \(xy = 120\)
2. \(2 + \frac{120 – 2x}{x+3} = y – 1.6\)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này.

Bước 3: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta rút \(y\): \(y = \frac{120}{x}\).
Thế \(y\) vào phương trình (2):
\(2 + \frac{120 – 2x}{x+3} = \frac{120}{x} – 1.6\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình này cho \(x\).
Để đơn giản hóa, ta có thể đổi 1.6 thành phân số: \(1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\).
\(2 + \frac{120 – 2x}{x+3} = \frac{120}{x} – \frac{8}{5}\)

Quy đồng mẫu số các phân thức. Mẫu số chung là \(5x(x+3)\).
Nhân cả hai vế với \(5x(x+3)\) (với điều kiện \(x \neq 0\) và \(x \neq -3\), điều này đã được đảm bảo vì \(x\) là năng suất).

\(2 \cdot 5x(x+3) + (120 – 2x) \cdot 5x = 120 \cdot 5(x+3) – 8 \cdot x(x+3)\)

\(10x(x+3) + 5x(120 – 2x) = 600(x+3) – 8x(x+3)\)

Mở ngoặc:
\(10x^2 + 30x + 600x – 10x^2 = 600x + 1800 – 8x^2 – 24x\)

Rút gọn các hạng tử:
\(630x = 600x + 1800 – 8x^2 – 24x\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để có phương trình bậc hai:
\(8x^2 + 630x – 600x + 24x – 1800 = 0\)
\(8x^2 + 54x – 1800 = 0\)

Chúng ta có thể chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa:
\(4x^2 + 27x – 900 = 0\)

Bây giờ, chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a=4\), \(b=27\), \(c=-900\).
Delta (\(\Delta\)) = \(b^2 – 4ac\)
\(\Delta = 27^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-900)\)
\(\Delta = 729 + 16 \cdot 900\)
\(\Delta = 729 + 14400\)
\(\Delta = 15129\)

Kiểm tra căn bậc hai của \(\Delta\): \(\sqrt{15129} = 123\).

Các nghiệm của \(x\) là:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-27 + 123}{2 \cdot 4} = \frac{96}{8} = 12\)
\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-27 – 123}{2 \cdot 4} = \frac{-150}{8} = -\frac{75}{4}\)

Vì \(x\) là năng suất, nên \(x\) phải là số dương. Do đó, ta loại nghiệm \(x_2 = -\frac{75}{4}\).
Vậy, năng suất dự kiến là \(x = 12\) sản phẩm/giờ.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

Nếu năng suất dự kiến \(x = 12\) sản phẩm/giờ.
Thời gian dự định \(y = \frac{120}{x} = \frac{120}{12} = 10\) giờ.

Diễn biến thực tế:
* 2 giờ đầu làm với năng suất 12 sản phẩm/giờ, được \(2 \times 12 = 24\) sản phẩm.
* Số sản phẩm còn lại: \(120 – 24 = 96\) sản phẩm.
* Năng suất mới: \(12 + 3 = 15\) sản phẩm/giờ.
* Thời gian làm 96 sản phẩm với năng suất 15 sản phẩm/giờ là: \(\frac{96}{15} = \frac{32}{5} = 6.4\) giờ.
* Tổng thời gian thực tế hoàn thành kế hoạch là: \(2\) giờ (đầu) + \(6.4\) giờ (sau) = \(8.4\) giờ.

So sánh với thời gian dự định:
Thời gian dự định là 10 giờ.
Thời gian thực tế là 8.4 giờ.
Thời gian hoàn thành sớm hơn dự định là: \(10 – 8.4 = 1.6\) giờ.
Đổi 1.6 giờ ra giờ và phút: 1 giờ và \(0.6 \times 60 = 36\) phút.
Vậy, hoàn thành sớm hơn 1 giờ 36 phút, đúng như đề bài yêu cầu.

Kết luận:

Năng suất dự kiến của người công nhân là 12 sản phẩm mỗi giờ.

Đây là cách chúng ta sử dụng hệ phương trình để giải bài toán này. Các em cần chú ý phân tích kỹ đề bài, xác định đúng ẩn, thiết lập đúng các phương trình và giải chúng một cách cẩn thận. Chúc các em học tốt!