Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất thú vị liên quan đến việc tối ưu hóa doanh thu, một dạng bài toán thường gặp trong môn Toán lớp 8 khi học về hàm số bậc hai.

Đề bài: Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hoàn toàn miền Nam 30 – 4. Công ty dự định nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 200 người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng/ 1 tour thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất.

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải bài toán này nhé!

Phân tích bài toán:

Để doanh thu lớn nhất, chúng ta cần tìm một mối quan hệ giữa giá tour và số lượng người tham gia. Doanh thu được tính bằng công thức:

Doanh thu = Giá tour mỗi người \(\times\) Số lượng người tham gia

Các bước giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng ban đầu và các quy luật thay đổi.

• Giá tour ban đầu: \(P_0 = 2.000.000\) đồng.
• Số người tham gia ban đầu: \(N_0 = 200\) người.
• Mỗi lần giảm giá: \(100.000\) đồng.
• Mỗi lần giảm giá, số người tăng thêm: \(20\) người.

Bước 2: Gọi biến và biểu diễn các đại lượng theo biến đó.

Gọi \(x\) là số lần công ty giảm giá (với \(x\) là số nguyên không âm).

Khi đó:

1. Giá tour mới (P):
   Mỗi lần giảm giá \(100.000\) đồng, \(x\) lần giảm giá sẽ là \(x \times 100.000\) đồng.
   Giá tour mới sẽ là giá ban đầu trừ đi tổng số tiền giảm giá:
   \(P(x) = 2.000.000 – 100.000x\) (đồng)
2. Số người tham gia mới (N):
   Mỗi lần giảm giá có thêm \(20\) người, \(x\) lần giảm giá sẽ có thêm \(x \times 20\) người.
   Số người tham gia mới sẽ là số người ban đầu cộng với số người tăng thêm:
   \(N(x) = 200 + 20x\) (người)

Bước 3: Xây dựng hàm doanh thu.

Doanh thu \(D(x)\) được tính bằng tích của giá tour mới và số người tham gia mới:

\(D(x) = P(x) \times N(x)\)
\(D(x) = (2.000.000 – 100.000x) \times (200 + 20x)\)

Để đơn giản hóa biểu thức, chúng ta có thể đặt thừa số chung ra ngoài:

\(D(x) = 100.000 \times (20 – x) \times 20 \times (10 + x)\)
\(D(x) = 2.000.000 \times (20 – x)(10 + x)\)

Bây giờ, chúng ta khai triển biểu thức trong ngoặc:

\((20 – x)(10 + x) = 20 \times 10 + 20 \times x – x \times 10 – x \times x\)
\((20 – x)(10 + x) = 200 + 20x – 10x – x^2\)
\((20 – x)(10 + x) = -x^2 + 10x + 200\)

Thay trở lại vào hàm doanh thu:

\(D(x) = 2.000.000 \times (-x^2 + 10x + 200)\)
\(D(x) = -2.000.000x^2 + 20.000.000x + 400.000.000\)

Đây là một hàm số bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = -2.000.000\), \(b = 20.000.000\) và \(c = 400.000.000\). Vì hệ số \(a < 0\), đồ thị của hàm số là một parabol úp xuống, do đó nó có một điểm cực đại (giá trị lớn nhất).

Bước 4: Tìm giá trị của \(x\) để doanh thu lớn nhất.

Giá trị \(x\) để hàm số bậc hai \(ax^2 + bx + c\) đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) là tại đỉnh của parabol, với hoành độ đỉnh được tính bằng công thức:

\(x = \frac{-b}{2a}\)

Áp dụng vào hàm doanh thu \(D(x)\):

\(x = \frac{-20.000.000}{2 \times (-2.000.000)}\)
\(x = \frac{-20.000.000}{-4.000.000}\)
\(x = 5\)

Vậy, để doanh thu lớn nhất, công ty cần giảm giá 5 lần.

Bước 5: Tính giá tour và số người tham gia tại thời điểm doanh thu lớn nhất.

1. Giá tour khi doanh thu lớn nhất:
   Với \(x = 5\), giá tour mới là:
   \(P(5) = 2.000.000 – 100.000 \times 5\)
   \(P(5) = 2.000.000 – 500.000\)
   \(P(5) = 1.500.000\) đồng
2. Số người tham gia khi doanh thu lớn nhất:
   Với \(x = 5\), số người tham gia là:
   \(N(5) = 200 + 20 \times 5\)
   \(N(5) = 200 + 100\)
   \(N(5) = 300\) người
3. Doanh thu lớn nhất (kiểm tra):
   \(D(5) = 1.500.000 \times 300\)
   \(D(5) = 450.000.000\) đồng

Kết luận:

Để doanh thu từ tour xuyên Việt là lớn nhất, công ty phải giảm giá tour xuống còn 1.500.000 đồng (một triệu năm trăm nghìn đồng).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Đây là một ứng dụng rất hay của hàm số bậc hai vào thực tế đấy!