Bài toán: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20, 25, 30 hàng đều dư 15, nhưng xếp 41 đều vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó, biết rằng số người chưa đến 1000.

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ các thông tin mà đề bài cho:

• Khi xếp hàng 20, 25, 30 thì dư 15. Điều này có nghĩa là số người của đơn vị khi chia cho 20, 25, 30 đều cho số dư là 15.
• Khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Điều này có nghĩa là số người của đơn vị chia hết cho 41.
• Số người của đơn vị chưa đến 1000.

Cách giải:

Gọi số người của đơn vị bộ đội là A.

Vì khi xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15, nên ta có:

A – 15 chia hết cho 20.

A – 15 chia hết cho 25.

A – 15 chia hết cho 30.

Điều này có nghĩa là \(A – 15\) là một bội chung của 20, 25 và 30.

Để tìm bội chung của 20, 25, 30, trước hết chúng ta cần tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của chúng.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

20 = \(2^2 \times 5\)

25 = \(5^2\)

30 = \(2 \times 3 \times 5\)

BCNN(20, 25, 30) = \(2^2 \times 3 \times 5^2\) = \(4 \times 3 \times 25\) = \(12 \times 25\) = 300.

Vậy, \(A – 15\) là bội của 300. Ta có thể viết:

\(A – 15 = 300k\), với k là một số tự nhiên.

Suy ra: \(A = 300k + 15\).

Bây giờ, chúng ta xem xét điều kiện thứ hai: xếp 41 đều vừa đủ, tức là A chia hết cho 41.

Ta có: \(300k + 15\) chia hết cho 41.

Chúng ta cần tìm giá trị của k sao cho điều kiện này thỏa mãn. Chúng ta có thể thử các giá trị của k:

Nếu k = 1: \(A = 300 \times 1 + 15 = 315\). Ta kiểm tra xem 315 có chia hết cho 41 không:

315 : 41 = 7 dư 28 (Không chia hết)

Nếu k = 2: \(A = 300 \times 2 + 15 = 600 + 15 = 615\). Ta kiểm tra xem 615 có chia hết cho 41 không:

615 : 41 = 15 (Chia hết)

Vậy, với k = 2, ta tìm được A = 615.

Chúng ta cũng cần kiểm tra điều kiện cuối cùng: số người chưa đến 1000.

Số người A = 615, và \(615 < 1000\). Điều kiện này được thỏa mãn.

Nếu chúng ta tiếp tục thử các giá trị lớn hơn cho k, ví dụ k = 3:

Nếu k = 3: \(A = 300 \times 3 + 15 = 900 + 15 = 915\). Ta kiểm tra xem 915 có chia hết cho 41 không:

915 : 41 = 22 dư 13 (Không chia hết)

Nếu k = 4: \(A = 300 \times 4 + 15 = 1200 + 15 = 1215\). Số này đã lớn hơn 1000, nên chúng ta không xét nữa.

Do đó, chỉ có giá trị A = 615 là thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán.

Kết luận:

Số người của đơn vị bộ đội đó là 615 người.

Các em thấy không, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải biết cách tìm bội chung, BCNN và áp dụng các điều kiện của đề bài để tìm ra đáp án cuối cùng. Các em hãy xem lại các bước giải và ghi nhớ cách làm nhé!