Chúng ta có các thông số sau:

Chiều rộng của sông: \(L = 60\) m

Vận tốc của nước so với bờ (vận tốc dòng chảy): \(v_{nB} = 1\) m/s

Vận tốc của thuyền so với nước (vận tốc chèo của thuyền): \(v_{tn} = 3\) m/s

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ công thức cộng vận tốc: \(\vec{v}_{tB} = \vec{v}_{tn} + \vec{v}_{nB}\), trong đó:

– \(\vec{v}_{tB}\) là vận tốc của thuyền so với bờ (vận tốc tổng hợp).

– \(\vec{v}_{tn}\) là vận tốc của thuyền so với nước.

– \(\vec{v}_{nB}\) là vận tốc của nước so với bờ.

Bây giờ, chúng ta cùng nhau phân tích và giải từng phần nhé:

d) Muốn đến được điểm dự định đối diện điểm xuất phát bên kia bờ thì thuyền phải đi hướng chếch lên thượng nguồn hợp với bờ 1 góc bao nhiêu?

Để thuyền đến được điểm đối diện chính xác với điểm xuất phát ở bờ bên kia, vận tốc tổng hợp của thuyền so với bờ (\(\vec{v}_{tB}\)) phải có phương vuông góc với bờ (và hướng sang bờ bên kia). Điều này có nghĩa là thành phần vận tốc theo phương song song với bờ (phương dòng chảy) của \(\vec{v}_{tB}\) phải bằng 0.

Chúng ta phân tích các vector vận tốc:

– \(\vec{v}_{nB}\) có phương song song với bờ, chiều xuôi dòng.

– \(\vec{v}_{tn}\) là vận tốc chèo của thuyền so với nước. Để triệt tiêu vận tốc dòng chảy, thuyền phải chèo chếch lên thượng nguồn.

Giả sử chúng ta chọn hệ trục tọa độ với trục Ox theo hướng dòng chảy (xuôi dòng) và trục Oy vuông góc với bờ (hướng sang bờ bên kia).

Vector vận tốc nước so với bờ: \(\vec{v}_{nB} = (v_{nB}, 0) = (1, 0)\) m/s.

Vector vận tốc thuyền so với nước: \(\vec{v}_{tn}\). Để thuyền đến được điểm đối diện, thành phần theo trục Ox của \(\vec{v}_{tB}\) phải bằng 0. Tức là:

\(v_{tB,x} = v_{tn,x} + v_{nB,x} = 0\)

Suy ra: \(v_{tn,x} = -v_{nB,x} = -1\) m/s.

Vẽ hình tam giác vận tốc (tam giác vuông):

– Cạnh huyền là vận tốc của thuyền so với nước: \(v_{tn} = 3\) m/s.

– Một cạnh góc vuông là vận tốc của nước so với bờ: \(v_{nB} = 1\) m/s (nằm trên trục Ox).

– Cạnh góc vuông còn lại là vận tốc tổng hợp của thuyền so với bờ: \(v_{tB}\) (nằm trên trục Oy).

Gọi \(\alpha\) là góc mà \(\vec{v}_{tn}\) hợp với phương vuông góc với bờ (trục Oy). Khi đó, thành phần vận tốc của thuyền theo phương song song với bờ là \(v_{tn,x} = v_{tn} \sin(\alpha)\). Để thuyền đi lên thượng nguồn, thành phần này phải ngược chiều dương của trục Ox. Tuy nhiên, nếu chúng ta xét góc hợp với bờ (trục Ox), thì góc đó sẽ là \(\theta\).

Xét góc \(\theta\) là góc mà \(\vec{v}_{tn}\) hợp với phương ngược dòng (phương của bờ nhưng hướng ngược chiều dòng nước).

Trong tam giác vận tốc, cạnh kề với góc \(\theta\) là \(v_{nB}\) và cạnh huyền là \(v_{tn}\).

Ta có: \(\cos(\theta) = \frac{v_{nB}}{v_{tn}}\)

\(\cos(\theta) = \frac{1}{3}\)

Vậy, \(\theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).

Sử dụng máy tính, ta có \(\theta \approx 70.53^\circ\).

Kết luận: Thuyền phải đi hướng chếch lên thượng nguồn, hợp với bờ một góc khoảng \(70.53^\circ\) (so với hướng ngược dòng).

e) Vận tốc của thuyền đối với bờ trong trường hợp trên là bao nhiêu?

Trong trường hợp này, vận tốc của thuyền đối với bờ (\(\vec{v}_{tB}\)) có phương vuông góc với bờ. Dựa vào tam giác vận tốc ở câu d), ta có thể sử dụng định lý Pitago để tìm độ lớn của \(v_{tB}\).

Ta có: \(v_{tn}^2 = v_{tB}^2 + v_{nB}^2\)

Suy ra: \(v_{tB}^2 = v_{tn}^2 – v_{nB}^2\)

\(v_{tB} = \sqrt{v_{tn}^2 – v_{nB}^2}\)

Thay số: \(v_{tB} = \sqrt{3^2 – 1^2} = \sqrt{9 – 1} = \sqrt{8}\) m/s.

\(v_{tB} = 2\sqrt{2}\) m/s.

Kết luận: Vận tốc của thuyền đối với bờ trong trường hợp này là \(2\sqrt{2}\) m/s (khoảng \(2.83\) m/s).

f) Trong 2 trường hợp đi vuông góc với bờ và chếch lên thường nguồn trường hợp nào đến được điểm dự kiến nhanh nhất?

Để so sánh thời gian, chúng ta cần hiểu rõ “điểm dự kiến” ở đây chính là điểm đối diện điểm xuất phát ở bờ bên kia. Chúng ta sẽ xét hai chiến lược di chuyển của thuyền:

Trường hợp 1: Thuyền hướng mũi vuông góc với bờ (thường được hiểu là “đi vuông góc với bờ”).

Trong trường hợp này, vận tốc của thuyền so với nước (\(\vec{v}_{tn}\)) có phương vuông góc với bờ. Tức là, thuyền hướng mũi thẳng sang ngang.

– Vận tốc thuyền vượt sông (thành phần vận tốc theo phương vuông góc với bờ) đối với bờ là: \(v_{tB,y} = v_{tn} = 3\) m/s.

– Thời gian thuyền vượt sông (qua được bờ bên kia) là:

\(t_1 = \frac{L}{v_{tn}} = \frac{60}{3} = 20\) s.

– Trong 20 giây này, do có dòng nước chảy, thuyền sẽ bị trôi xuôi dòng một đoạn là:

\(d_{trôi} = v_{nB} \times t_1 = 1 \times 20 = 20\) m.

– Như vậy, thuyền sẽ cập bờ bên kia tại một điểm cách điểm dự kiến (điểm đối diện) 20m về phía hạ lưu. Để đến được điểm dự kiến, thuyền phải đi ngược dòng 20m.

– Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng so với bờ là: \(v_{ngược} = v_{tn} – v_{nB} = 3 – 1 = 2\) m/s (giả sử thuyền dùng vận tốc chèo tối đa để đi ngược dòng).

– Thời gian để thuyền đi ngược dòng 20m là:

\(t_{ngược} = \frac{20}{v_{ngược}} = \frac{20}{2} = 10\) s.

– Tổng thời gian để thuyền đến được điểm dự kiến theo chiến lược này là:

\(T_1 = t_1 + t_{ngược} = 20 + 10 = 30\) s.

Trường hợp 2: Thuyền chếch lên thượng nguồn để đến được điểm đối diện.

Đây chính là trường hợp mà chúng ta đã tính toán ở câu d) và e). Trong trường hợp này, vận tốc tổng hợp của thuyền so với bờ (\(\vec{v}_{tB}\)) có phương vuông góc với bờ.

– Vận tốc của thuyền đối với bờ theo phương vuông góc với bờ là \(v_{tB} = 2\sqrt{2}\) m/s (từ câu e)).

– Thời gian để thuyền vượt sông và đến đúng điểm dự kiến là:

\(T_2 = \frac{L}{v_{tB}} = \frac{60}{2\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2}\) s.

– Tính giá trị xấp xỉ: \(15\sqrt{2} \approx 15 \times 1.414 = 21.21\) s.

So sánh:

– Tổng thời gian ở Trường hợp 1: \(T_1 = 30\) s.

– Tổng thời gian ở Trường hợp 2: \(T_2 \approx 21.21\) s.

Vì \(21.21\) s \(<\) \(30\) s, nên trường hợp 2 (thuyền chếch lên thượng nguồn) giúp thuyền đến được điểm dự kiến nhanh hơn.

Kết luận: Trường hợp thuyền chếch lên thượng nguồn để đến được điểm dự kiến sẽ nhanh hơn.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài giải này. Các em cần lưu ý phân tích kỹ đề bài và vẽ hình vector vận tốc để dễ dàng hình dung và áp dụng đúng công thức. Chúc các em học tốt!