Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m². Nếu trồng đậu thì th…
Trước hết, chúng ta cùng phân tích bài toán nhé.
Phân tích bài toán:
- Mục tiêu của hộ nông dân là gì? -> Thu được nhiều tiền nhất.
- Có những yếu tố nào ảnh hưởng đến việc trồng trọt và thu hoạch?
- Tổng diện tích đất: 800 m².
- Thu nhập từ đậu: 3.000.000 đồng / 100 m².
- Thu nhập từ cà: 4.000.000 đồng / 100 m².
- Tổng số công không quá 180 công.
- Chúng ta cần tìm gì? -> Diện tích trồng mỗi loại cây.
Tuy nhiên, thầy nhận thấy một điểm quan trọng bị thiếu trong đề bài, đó là thông tin về số công cần thiết để trồng mỗi loại cây trên một đơn vị diện tích. Để bài toán có thể giải được và mang tính thực tế, thầy sẽ đưa ra một giả định hợp lý về thông tin này. Trong thực tế, các em sẽ được cung cấp đầy đủ số liệu nhé!
Giả định:
- Để trồng 100 m² đậu, cần 10 công.
- Để trồng 100 m² cà, cần 30 công.
Với giả định này, chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán như sau:
Giải bài toán:
Bước 1: Đặt các biến và xây dựng hàm mục tiêu
Gọi \(x\) (m²) là diện tích trồng đậu.
Gọi \(y\) (m²) là diện tích trồng cà.
Điều kiện ban đầu là diện tích không thể âm:
\(x \ge 0\)
\(y \ge 0\)
Tính toán lợi nhuận trên 1 m² cho mỗi loại cây:
- Thu nhập từ đậu: \(\frac{3.000.000}{100} = 30.000\) đồng/m².
- Thu nhập từ cà: \(\frac{4.000.000}{100} = 40.000\) đồng/m².
Hàm mục tiêu là tổng số tiền thu được, ký hiệu là \(R\), mà chúng ta cần tối đa hóa:
\(R(x, y) = 30000x + 40000y\)
Bước 2: Xây dựng các bất phương trình ràng buộc
Dựa trên các thông tin đã cho và giả định:
1. Ràng buộc về diện tích: Tổng diện tích trồng đậu và cà không quá 800 m².
\(x + y \le 800\)
2. Ràng buộc về số công: Tổng số công không quá 180 công.
Với giả định của chúng ta:
- Trồng 1 m² đậu cần \(\frac{10}{100} = 0.1\) công.
- Trồng 1 m² cà cần \(\frac{30}{100} = 0.3\) công.
Vậy, tổng số công là \(0.1x + 0.3y\). Từ đó ta có bất phương trình:
\(0.1x + 0.3y \le 180\)
Để đơn giản hóa, chúng ta có thể nhân cả hai vế với 10:
\(x + 3y \le 1800\)
Tóm lại, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(R(x, y) = 30000x + 40000y\) thỏa mãn hệ các bất phương trình sau:
\(\begin{cases}
x \ge 0 \\
y \ge 0 \\
x + y \le 800 \\
x + 3y \le 1800
\end{cases}\)
Bước 3: Xác định miền nghiệm hợp lệ (miền đa giác lồi)
Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng biên tương ứng với các bất phương trình:
- Đường thẳng 1 (D1): \(x = 0\) (trục Oy)
- Đường thẳng 2 (D2): \(y = 0\) (trục Ox)
- Đường thẳng 3 (D3): \(x + y = 800\)
- Đường thẳng 4 (D4): \(x + 3y = 1800\)
Miền nghiệm hợp lệ là miền đa giác được tạo bởi giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình. Chúng ta sẽ tìm tọa độ các đỉnh của đa giác này.
Các đỉnh của miền nghiệm:
1. Giao điểm của D1 và D2: (Trục Ox và Oy)
A \((0, 0)\)
2. Giao điểm của D1 và D4: (Trục Oy và \(x + 3y = 1800\))
Thay \(x = 0\) vào \(x + 3y = 1800 \Rightarrow 3y = 1800 \Rightarrow y = 600\)
B \((0, 600)\)
3. Giao điểm của D2 và D3: (Trục Ox và \(x + y = 800\))
Thay \(y = 0\) vào \(x + y = 800 \Rightarrow x = 800\)
C \((800, 0)\)
4. Giao điểm của D3 và D4: (\(x + y = 800\) và \(x + 3y = 1800\))
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}
x + y = 800 \quad (1) \\
x + 3y = 1800 \quad (2)
\end{cases}\)
Lấy (2) trừ (1) ta được:
\((x + 3y) – (x + y) = 1800 – 800\)
\(2y = 1000\)
\(y = 500\)
Thay \(y = 500\) vào (1):
\(x + 500 = 800\)
\(x = 300\)
D \((300, 500)\)
Vậy, miền nghiệm hợp lệ là đa giác OADC (với A là gốc tọa độ, tên đỉnh tùy thuộc cách vẽ). Các đỉnh của miền nghiệm là:
A \((0, 0)\)
B \((0, 600)\)
C \((800, 0)\)
D \((300, 500)\)
(Các em có thể vẽ đồ thị để thấy rõ miền nghiệm này. Đây là một đa giác lồi.)
Bước 4: Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh
Chúng ta sẽ thay tọa độ các đỉnh vào hàm lợi nhuận \(R(x, y) = 30000x + 40000y\):
- Tại đỉnh A \((0, 0)\):
\(R(0, 0) = 30000(0) + 40000(0) = 0\) đồng. - Tại đỉnh B \((0, 600)\):
\(R(0, 600) = 30000(0) + 40000(600) = 24.000.000\) đồng. - Tại đỉnh C \((800, 0)\):
\(R(800, 0) = 30000(800) + 40000(0) = 24.000.000\) đồng. - Tại đỉnh D \((300, 500)\):
\(R(300, 500) = 30000(300) + 40000(500) = 9.000.000 + 20.000.000 = 29.000.000\) đồng.
Bước 5: Kết luận
So sánh các giá trị \(R\) tại các đỉnh, ta thấy giá trị lớn nhất là \(29.000.000\) đồng, đạt được tại đỉnh D \((300, 500)\).
Vậy, để thu được nhiều tiền nhất (29.000.000 đồng), hộ nông dân cần:
Trồng đậu trên diện tích 300 m².
Trồng cà trên diện tích 500 m².
Hy vọng phần hướng dẫn chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ cách giải quyết bài toán nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là diện tích trồng đậu và trồng cà (đơn vị: \(100\text{ m}^2\); \(x \ge 0, y \ge 0\)).
Từ đề bài ta có :
\[\begin{cases}x+y\le8\\2x+3y\le18\\\end{cases}\]
\[F(x, y) = 3x + 4y\]
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một miền đa giác với các tọa độ đỉnh:
\(O(0; 0) \implies F(0; 0) = 0\)
\(A(0; 6) \implies F(0; 6) = 3(0) + 4(6) = 24\)
\(B(8; 0) \implies F(8; 0) = 3(8) + 4(0) = 24\)
Giao điểm của đường thẳng \(x + y = 8\) và \(2x + 3y = 18\) là điểm \(C(6; 2) \implies F(6; 2) = 3(6) + 4(2) = 26\)
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(26\) (triệu đồng) tại điểm \((6; 2)\)
-> hộ nông dân cần trồng \(600\text{ m}^2\) đậu và \(200\text{ m}^2\) cà để thu được số tiền nhiều nhất
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment