Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800m2. Nếu trồng…

Chào em, đây là một bài toán thực tế rất hay thuộc chương trình Toán lớp 10, liên quan đến phần bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Dạng toán này giúp chúng ta biết cách tối ưu hóa lợi ích trong kinh tế hộ gia đình. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước một nhé.

Bước 1: Đặt ẩn cho bài toán

Trước hết, chúng ta gọi các đại lượng cần tìm là ẩn số:

• Gọi x là diện tích trồng đậu (tính bằng đơn vị 100 mét vuông). Điều kiện là x lớn hơn hoặc bằng 0.
• Gọi y là diện tích trồng cà (tính bằng đơn vị 100 mét vuông). Điều kiện là y lớn hơn hoặc bằng 0.

Bước 2: Lập hệ bất phương trình ràng buộc

Dựa vào các dữ kiện đề bài cho về tổng diện tích và tổng số ngày công, chúng ta thiết lập các điều kiện sau:

• Vì tổng diện tích đất là 800 mét vuông (tương đương với 8 đơn vị 100 mét vuông), nên ta có bất phương trình đầu tiên về diện tích là: x cộng y nhỏ hơn hoặc bằng 8.
• Mỗi 100 mét vuông trồng đậu tốn 20 công, và trồng cà tốn 30 công. Tổng số công không được vượt quá 180, nên ta có bất phương trình thứ hai: 20x cộng 30y nhỏ hơn hoặc bằng 180 (hoặc rút gọn thành 2x cộng 3y nhỏ hơn hoặc bằng 18).

Như vậy, ta có hệ bất phương trình miền nghiệm bao gồm: x lớn hơn hoặc bằng 0, y lớn hơn hoặc bằng 0, x cộng y nhỏ hơn hoặc bằng 8, và 2x cộng 3y nhỏ hơn hoặc bằng 18.

Bước 3: Xác định hàm mục tiêu cần tối ưu

Đề bài yêu cầu tìm cách trồng để thu được nhiều tiền nhất. Số tiền thu được tính bằng tổng số tiền bán đậu và bán cà (đơn vị tính là triệu đồng):

• Số tiền thu từ đậu là: 3x triệu đồng.
• Số tiền thu từ cà là: 4y triệu đồng.
• Hàm số biểu diễn tổng số tiền thu về là: F(x, y) bằng 3x cộng 4y.
• Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x, y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình ở Bước 2.

Bước 4: Biểu diễn miền nghiệm và tìm tọa độ các đỉnh

Trong hệ tọa độ vuông góc, miền nghiệm của hệ bất phương trình là một miền đa giác (hình tứ giác kể cả các cạnh). Ta xác định tọa độ các đỉnh của miền đa giác này bằng cách tìm giao điểm của các đường thẳng biên:

• Đỉnh O có tọa độ (0, 0): Không trồng gì, thu được 0 triệu đồng.
• Đỉnh A có tọa độ (0, 6): Chỉ trồng cà trên diện tích 600 mét vuông, thu được 4 nhân 6 bằng 24 triệu đồng.
• Đỉnh B có tọa độ (6, 2): Trồng 600 mét vuông đậu và 200 mét vuông cà. Ta kiểm tra lại điều kiện số công: 20 nhân 6 cộng 30 nhân 2 bằng 120 cộng 60 đúng bằng 180 công. Tổng diện tích là 6 cộng 2 bằng 8 trăm mét vuông. Số tiền thu được là 3 nhân 6 cộng 4 nhân 2 bằng 18 cộng 8 bằng 26 triệu đồng.
• Đỉnh C có tọa độ (8, 0): Chỉ trồng đậu trên diện tích 800 mét vuông, thu được 3 nhân 8 bằng 24 triệu đồng.

Bước 5: Kết luận đáp số

So sánh giá trị của hàm số F(x, y) tại các đỉnh của miền nghiệm, ta thấy giá trị lớn nhất là 26 triệu đồng, đạt được tại tọa độ điểm B (x bằng 6, y bằng 2).

Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác nông dân cần:

• Trồng 600 mét vuông đậu.
• Trồng 200 mét vuông cà.
• Số tiền tối đa thu về là 26 triệu đồng.

Thế là chúng ta đã giải quyết xong bài toán bằng tư duy toán học thực tế rồi đấy. Chúc các em học tốt môn Toán lớp 10!