Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về khúc xạ ánh sáng qua một khối thuỷ tinh hình bán trụ. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng kiến thức về định luật Snell và hiện tượng phản xạ toàn phần. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhé!

Đề bài: Một khối thuỷ tinh hình bán trụ có tiết diện thẳng là 1 nửa hình tròn đường kính AB. Chiếu một chùm tia sáng song song nằm trong tiết diện thẳng đến mặt AB dưới góc tới 45 độ. Chiết suất của thuỷ tinh với ánh sáng này là n = 1,414 = \( \sqrt{2} \). Xác định vùng trên mặt cong có tia sáng ló ra?

Phân tích bài toán:

Bài toán này có thể chia thành hai giai đoạn chính:

1. Khúc xạ của chùm tia sáng khi đi từ không khí vào khối thuỷ tinh qua mặt phẳng AB.
2. Tương tác của các tia sáng đã khúc xạ với mặt cong của khối bán trụ: Tại đây có thể xảy ra khúc xạ ra ngoài không khí hoặc phản xạ toàn phần. Chúng ta cần tìm điều kiện để tia sáng ló ra.

Chúng ta sẽ xét trục tọa độ với gốc O là tâm của nửa hình tròn, trục Oy vuông góc với mặt AB (đi qua O và vuông góc với AB), trục Ox nằm dọc theo AB.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xét sự khúc xạ của chùm tia sáng tại mặt phẳng AB (từ không khí vào thủy tinh).

Chùm tia sáng song song tới mặt AB dưới góc tới \( i_1 = 45^\circ \). Chiết suất của không khí là \( n_{kk} = 1 \). Chiết suất của thủy tinh là \( n_{tt} = n = \sqrt{2} \).

Áp dụng định luật Snell về khúc xạ tại mặt AB:

\( n_{kk} \sin i_1 = n_{tt} \sin r_1 \)

\( 1 \cdot \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \sin r_1 \)

\( \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cdot \sin r_1 \)

\( \sin r_1 = \frac{1}{2} \)

Vậy, góc khúc xạ \( r_1 = 30^\circ \).
Các tia sáng sau khi khúc xạ sẽ truyền trong khối thủy tinh và song song với nhau, tạo với pháp tuyến của mặt phẳng AB (trục Oy) một góc \( r_1 = 30^\circ \).

Bước 2: Xét sự tương tác của các tia sáng với mặt cong của khối bán trụ.

Các tia sáng sau khi vào trong thủy tinh sẽ truyền đến mặt cong. Để tia sáng ló ra khỏi mặt cong vào không khí, góc tới tại mặt cong phải nhỏ hơn góc giới hạn phản xạ toàn phần.

2.1. Tính góc giới hạn phản xạ toàn phần (\( i_{gh} \)).

Góc giới hạn được xác định khi tia sáng đi từ môi trường chiết quang hơn (thủy tinh) sang môi trường chiết quang kém hơn (không khí) và góc khúc xạ bằng \( 90^\circ \).

\( n_{tt} \sin i_{gh} = n_{kk} \sin 90^\circ \)

\( \sqrt{2} \cdot \sin i_{gh} = 1 \cdot 1 \)

\( \sin i_{gh} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Vậy, góc giới hạn \( i_{gh} = 45^\circ \).

2.2. Xác định góc tới tại mặt cong (\( i_2 \)).

Gọi O là tâm của mặt cong (tâm của nửa đường tròn). Tại bất kỳ điểm Q nào trên mặt cong, pháp tuyến của mặt cong tại Q chính là bán kính OQ.

Các tia sáng trong thủy tinh đều song song với nhau và hợp với trục Oy một góc \( r_1 = 30^\circ \).
Gọi \(\theta\) là góc mà bán kính OQ tạo với trục Oy (pháp tuyến của mặt phẳng AB). \(\theta\) có thể dao động từ \( -90^\circ \) đến \( 90^\circ \). (Nếu lấy trục Oy làm mốc, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ).

Góc tới \( i_2 \) tại điểm Q trên mặt cong là góc giữa tia sáng tới (trong thủy tinh) và pháp tuyến OQ.
Vì tia sáng hợp với trục Oy một góc \( r_1 \), và pháp tuyến OQ hợp với trục Oy một góc \( \theta \), nên góc giữa tia sáng và pháp tuyến OQ chính là hiệu độ lớn giữa hai góc này:

\( i_2 = |\theta – r_1| \)

Thay giá trị \( r_1 = 30^\circ \):

\( i_2 = |\theta – 30^\circ| \)

2.3. Điều kiện để tia sáng ló ra.

Để tia sáng ló ra khỏi mặt cong, góc tới \( i_2 \) phải nhỏ hơn hoặc bằng góc giới hạn \( i_{gh} \):

\( i_2 \le i_{gh} \)

\( |\theta – 30^\circ| \le 45^\circ \)

Giải bất phương trình này:

\( -45^\circ \le \theta – 30^\circ \le 45^\circ \)

Cộng \( 30^\circ \) vào cả ba vế:

\( -45^\circ + 30^\circ \le \theta \le 45^\circ + 30^\circ \)

\( -15^\circ \le \theta \le 75^\circ \)

Kết luận:

Vùng trên mặt cong có tia sáng ló ra là vùng mà bán kính OQ (pháp tuyến tại điểm đó) tạo với trục Oy (pháp tuyến của mặt phẳng AB) một góc \(\theta\) nằm trong khoảng từ \( -15^\circ \) đến \( 75^\circ \).

• Góc \(\theta = 0^\circ\) tương ứng với điểm cao nhất của mặt cong (đỉnh bán trụ).
• Góc \(\theta = -15^\circ\) là điểm trên mặt cong mà bán kính hợp với trục Oy một góc \(15^\circ\) về phía bên trái (ngược chiều kim đồng hồ so với Oy).
• Góc \(\theta = 75^\circ\) là điểm trên mặt cong mà bán kính hợp với trục Oy một góc \(75^\circ\) về phía bên phải (cùng chiều kim đồng hồ so với Oy).

Đây chính là vùng mà các tia sáng có thể truyền ra ngoài không khí. Ngoài vùng này, các tia sáng sẽ bị phản xạ toàn phần trở lại vào trong khối thủy tinh.

Hy vọng bài giải này chi tiết và dễ hiểu cho các em. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!