Một khu đất hình chữ nhật có diện tích 600m2. Người ta muốn rào xung…
Chào em, đây là một bài toán thực tế rất hay thuộc chương trình Toán lớp 9, liên quan đến việc ứng dụng phương trình và hàm số bậc hai để tìm giá trị nhỏ nhất (cực trị). Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết bài toán này bước này bước một nhé.
Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn
Gọi chiều dài của khu đất hình chữ nhật là x (mét).
Gọi chiều rộng của khu đất hình chữ nhật là y (mét).
Điều kiện cho ẩn là: x lớn hơn 0 và y lớn hơn 0.
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn
Theo đề bài, diện tích khu đất bằng 600 mét vuông, nên ta có phương trình:
- x nhân y bằng 600
- Từ đó, ta suy ra chiều rộng y theo chiều dài x là: y bằng 600 chia cho x.
Khu đất hình chữ nhật có 2 cạnh dài và 2 cạnh ngắn. Chi phí rào xung quanh được tính bằng tổng tiền của hai cạnh dài và hai cạnh ngắn:
- Tiền mua dây rào cho 2 cạnh dài là: 2 nhân x nhân 15000 bằng 30000 nhân x (đồng).
- Tiền mua dây rào cho 2 cạnh ngắn là: 2 nhân y nhân 10000 bằng 20000 nhân y (đồng).
Bước 3: Lập hàm số biểu diễn tổng chi phí
Gọi T là tổng chi phí rào xung quanh khu đất (tính bằng đồng). Ta có biểu thức tổng chi phí theo x là:
T bằng 30000 nhân x cộng với 20000 nhân y.
Thay y bằng 600 chia cho x vào biểu thức của T, ta được hàm số theo một ẩn x:
T bằng 30000 nhân x cộng với 20000 nhân với (600 chia cho x)
T bằng 30000 nhân x cộng với 12000000 chia cho x.
Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí bằng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)
Vì x lớn hơn 0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương là 30000 nhân x và 12000000 chia cho x:
- 30000 nhân x cộng với 12000000 chia cho x lớn hơn hoặc bằng 2 nhân với căn bậc hai của (30000 nhân x nhân với 12000000 chia cho x).
- Rút gọn x ở tử và mẫu trong căn, ta có: 30000 nhân với 12000000 bằng 360000000000.
- Căn bậc hai của 360000000000 là 600000.
- Nhân với 2 ở bên ngoài, ta được kết quả là: 2 nhân 600000 bằng 1200000.
Vậy tổng chi phí thấp nhất là 1200000 đồng (một triệu hai trăm nghìn đồng).
Bước 5: Tìm kích thước khu đất và kết luận
Dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-si xảy ra khi và chỉ khi hai số hạng bằng nhau:
- 30000 nhân x bằng 12000000 chia cho x
- 30000 nhân x bình phương bằng 12000000
- x bình phương bằng 12000000 chia cho 30000
- x bình phương bằng 400
- Suy ra x bằng 20 (vì x lớn hơn 0).
Với chiều dài x bằng 20 mét, ta tính được chiều rộng y là:
- y bằng 600 chia cho 20 bằng 30 (mét).
Kết luận của giáo viên: Để chi phí rào khu đất là thấp nhất, chiều dài của khu đất phải là 20 mét và chiều rộng của khu đất phải là 30 mét. Chúc các em học tập thật tốt!
*Giải:
Gọi \(a(m)\) là cạnh dài khu đất hình chữ nhật, \(b(m)\) là cạnh ngắn khu đất hình chữ nhật\((a,b>0;a>b)\)
Vì diện tích khu đất là 600m^2 nên ta có phương trình: \(a.b=600\) hay \(b=600/a\)
Chi phí rào: \(2.15000a+2.10000b=2.15000.a+2.10000.600/a=30000a+12000000/a\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được:
\(30000a+12000000/a≥2√30000a.12000000/a=2.√360000000000=2.600000=1200000\)
Dấu \(“=”\) xảy ra khi và chỉ khi: \(30000a=12000000/a\) nên \(a^2=400 \)
suy ra \(a=20m\) (nhận vì \(a>0)\) hay \(a=-20m\) (loại vì \(a>0)\)
nên \(b=600/a=600/20=30(m)\)
Ta có: điều kiện \(a>b\) mà kết quả lại là \(a<b(20<30)\) suy ra đề bài bị sai
#Funny12345
Hoidap247
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment