Xin chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị liên quan đến hình chữ nhật. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại kiến thức về chu vi, diện tích hình chữ nhật và cách lập hệ phương trình để giải bài toán.

Chúng ta bắt đầu với đề bài nhé:

Đề bài: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 68 m. Nếu giảm chiều dài đi 4 m và tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng thêm 15 m². Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

Trước hết, chúng ta cần phân tích đề bài để xác định các đại lượng cần tìm và các mối quan hệ giữa chúng.

Phân tích bài toán:

• Đại lượng cần tìm: Chiều dài ban đầu và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật.
• Thông tin cho biết:
  • Chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu là 68 m.
  • Khi thay đổi kích thước (giảm chiều dài, tăng chiều rộng) thì diện tích có sự thay đổi (tăng thêm 15 m²).

Bây giờ, chúng ta sẽ gọi ẩn cho các đại lượng cần tìm.

Đặt ẩn:

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là \(x\) (m).

Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là \(y\) (m).

Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

Tiếp theo, chúng ta sẽ dựa vào các thông tin trong đề bài để lập các phương trình.

Lập phương trình thứ nhất (dựa vào chu vi ban đầu):

Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức: \(P = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})\).

Theo đề bài, chu vi ban đầu là 68 m. Do đó, ta có phương trình:

\(2(x + y) = 68\)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\(x + y = 34\) (1)

Lập phương trình thứ hai (dựa vào sự thay đổi diện tích):

Trước hết, ta cần xác định diện tích ban đầu và diện tích sau khi thay đổi kích thước.

Diện tích ban đầu:

Diện tích của hình chữ nhật được tính bằng công thức: \(S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng}\).

Vậy, diện tích ban đầu của mảnh vườn là: \(S_{\text{ban đầu}} = x \times y\) (m²).

Kích thước sau khi thay đổi:

Chiều dài giảm đi 4 m, nên chiều dài mới là: \(x – 4\) (m).

Chiều rộng tăng lên 5 m, nên chiều rộng mới là: \(y + 5\) (m).

Diện tích sau khi thay đổi:

Diện tích mới của mảnh vườn là: \(S_{\text{mới}} = (x – 4)(y + 5)\) (m²).

Mối quan hệ về diện tích:

Theo đề bài, diện tích tăng thêm 15 m² khi thay đổi kích thước. Điều này có nghĩa là diện tích mới lớn hơn diện tích ban đầu 15 m².

Ta có phương trình:

\(S_{\text{mới}} = S_{\text{ban đầu}} + 15\)

\((x – 4)(y + 5) = xy + 15\)

Rút gọn phương trình này:

Ta khai triển vế trái:

\(xy + 5x – 4y – 20 = xy + 15\)

Trừ \(xy\) ở cả hai vế:

\(5x – 4y – 20 = 15\)

Chuyển -20 sang vế phải:

\(5x – 4y = 15 + 20\)

\(5x – 4y = 35\) (2)

Vậy, chúng ta đã lập được hệ phương trình:

\[ \begin{cases} x + y = 34 \\ 5x – 4y = 35 \end{cases} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành giải hệ phương trình này để tìm \(x\) và \(y\). Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, cô sẽ sử dụng phương pháp thế.

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình (1), ta rút \(x\) theo \(y\):

\(x = 34 – y\)

Thế biểu thức của \(x\) vào phương trình (2):

\(5(34 – y) – 4y = 35\)

Giải phương trình này cho \(y\):

\(170 – 5y – 4y = 35\)

\(170 – 9y = 35\)

\(-9y = 35 – 170\)

\(-9y = -135\)

\(y = \frac{-135}{-9}\)

\(y = 15\)

Sau khi tìm được \(y\), ta thế giá trị của \(y\) vào biểu thức tìm \(x\):

\(x = 34 – y = 34 – 15 = 19\)

Kiểm tra điều kiện:

Ta có \(x = 19\) và \(y = 15\). Cả hai đều lớn hơn 0, nên thỏa mãn điều kiện của bài toán.

Kết luận:

Vậy, chiều dài ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là 19 m và chiều rộng ban đầu là 15 m.

Kiểm tra lại kết quả:

• Chu vi ban đầu: \(2(19 + 15) = 2 \times 34 = 68\) m. (Đúng với đề bài)
• Diện tích ban đầu: \(19 \times 15 = 285\) m².
• Kích thước mới: Chiều dài mới = \(19 – 4 = 15\) m. Chiều rộng mới = \(15 + 5 = 20\) m.
• Diện tích mới: \(15 \times 20 = 300\) m².
• Sự thay đổi diện tích: \(300 – 285 = 15\) m². (Đúng với đề bài)

Bài toán của chúng ta đã được giải quyết một cách chính xác.

Các em có thắc mắc gì về bài toán này không ạ?