Chào các em học sinh lớp 6 thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về hình thang rất thú vị. Các em hãy cùng chú ý lắng nghe và ghi chép nhé!

Bài toán: Một miếng đất hình thang có diện tích 1053m². Biết rằng nếu tăng đáy bé thêm 4m thì được hình thang mới có diện tích 1107m². Tìm độ dài mỗi đáy của miếng đất, biết hiệu hai đáy là 12m.

Trước hết, chúng ta cần tóm tắt lại bài toán để hiểu rõ yêu cầu của đề bài.

Tóm tắt bài toán:

• Diện tích miếng đất hình thang ban đầu: \(S_1 = 1053\) m²
• Diện tích miếng đất hình thang mới (sau khi tăng đáy bé): \(S_2 = 1107\) m²
• Tăng đáy bé thêm: \(4\) m
• Hiệu hai đáy: \(12\) m
• Yêu cầu: Tìm độ dài đáy bé và đáy lớn của miếng đất ban đầu.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phần lời giải chi tiết.

Lời giải:

Gọi đáy bé của miếng đất hình thang ban đầu là \(a\) (m) và đáy lớn là \(b\) (m).

Ta có công thức tính diện tích hình thang là: \(S = \frac{1}{2} \times (đáy bé + đáy lớn) \times chiều cao)\).

Gọi chiều cao của miếng đất hình thang là \(h\) (m).

Theo đề bài, diện tích miếng đất hình thang ban đầu là 1053m², nên ta có phương trình:

\(\frac{1}{2} \times (a + b) \times h = 1053\) (1)

Khi tăng đáy bé thêm 4m, đáy bé mới sẽ là \(a + 4\). Diện tích hình thang mới là 1107m². Chiều cao của hình thang mới vẫn là \(h\) vì chỉ có đáy bé được thay đổi.

Ta có phương trình cho hình thang mới:

\(\frac{1}{2} \times ((a + 4) + b) \times h = 1107\) (2)

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét sự thay đổi diện tích giữa hai hình thang. Sự chênh lệch về diện tích chính là phần diện tích tăng thêm do việc tăng đáy bé.

Diện tích tăng thêm = Diện tích hình thang mới – Diện tích hình thang ban đầu

Diện tích tăng thêm = \(1107 – 1053 = 54\) m²

Phần diện tích tăng thêm này chính là diện tích của một hình thang có đáy bé là 4m (phần tăng thêm của đáy bé), đáy lớn là 4m (phần tăng thêm của đáy bé), và chiều cao là \(h\). Nhưng cách nghĩ này chưa hoàn toàn chính xác.

Chúng ta hãy phân tích sự chênh lệch về diện tích như sau:

Từ phương trình (2): \(\frac{1}{2} \times (a + 4 + b) \times h = 1107\)

Ta có thể viết lại là: \(\frac{1}{2} \times (a + b + 4) \times h = 1107\)

Hay: \(\frac{1}{2} \times (a + b) \times h + \frac{1}{2} \times 4 \times h = 1107\)

Ta biết từ phương trình (1) là \(\frac{1}{2} \times (a + b) \times h = 1053\). Thay vào phương trình trên, ta được:

\(1053 + \frac{1}{2} \times 4 \times h = 1107\)

\(1053 + 2 \times h = 1107\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm chiều cao \(h\):

\(2 \times h = 1107 – 1053\)

\(2 \times h = 54\)

\(h = \frac{54}{2}\)

\(h = 27\) m

Vậy, chiều cao của miếng đất hình thang là 27m.

Bây giờ, chúng ta sử dụng thông tin diện tích ban đầu và chiều cao vừa tìm được để tính tổng hai đáy:

\(\frac{1}{2} \times (a + b) \times h = 1053\)

\(\frac{1}{2} \times (a + b) \times 27 = 1053\)

\((a + b) \times 27 = 1053 \times 2\)

\((a + b) \times 27 = 2106\)

\(a + b = \frac{2106}{27}\)

\(a + b = 78\) m

Ta có hệ phương trình hai ẩn với hai thông tin sau:

1. Tổng hai đáy: \(a + b = 78\)
2. Hiệu hai đáy: \(b – a = 12\) (Vì \(b\) là đáy lớn nên \(b > a\), hiệu sẽ là \(b-a\). Nếu đề bài cho hiệu là 12m thì ta có thể hiểu là giá trị tuyệt đối, nhưng vì hiệu của hai đáy là dương, ta ngầm hiểu đáy lớn trừ đáy bé).

Đây là dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng, rất quen thuộc với các em rồi.

Để tìm đáy bé \(a\), ta lấy (tổng – hiệu) rồi chia cho 2:

\(a = \frac{(a + b) – (b – a)}{2}\)

\(a = \frac{78 – 12}{2}\)

\(a = \frac{66}{2}\)

\(a = 33\) m

Để tìm đáy lớn \(b\), ta lấy (tổng + hiệu) rồi chia cho 2:

\(b = \frac{(a + b) + (b – a)}{2}\)

\(b = \frac{78 + 12}{2}\)

\(b = \frac{90}{2}\)

\(b = 45\) m

Hoặc các em có thể thay giá trị của \(a\) vào một trong hai phương trình đã có:

Thay \(a = 33\) vào \(a + b = 78\):

\(33 + b = 78\)

\(b = 78 – 33\)

\(b = 45\) m

Kiểm tra lại:

• Đáy bé \(a = 33\)m, đáy lớn \(b = 45\)m. Hiệu hai đáy là \(45 – 33 = 12\)m (Đúng với đề bài).
• Chiều cao \(h = 27\)m.
• Diện tích ban đầu: \(\frac{1}{2} \times (33 + 45) \times 27 = \frac{1}{2} \times 78 \times 27 = 39 \times 27 = 1053\) m² (Đúng với đề bài).
• Tăng đáy bé thêm 4m: đáy bé mới là \(33 + 4 = 37\)m.
• Diện tích hình thang mới: \(\frac{1}{2} \times (37 + 45) \times 27 = \frac{1}{2} \times 82 \times 27 = 41 \times 27 = 1107\) m² (Đúng với đề bài).

Vậy, các giá trị chúng ta tìm được là hoàn toàn chính xác.

Đáp số:

Đáy bé của miếng đất là 33m.

Đáy lớn của miếng đất là 45m.

Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán liên quan đến diện tích hình thang và cách sử dụng các phương trình để tìm ẩn số. Các em hãy xem lại bài giảng và tự làm lại bài toán này một lần nữa nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô.