Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về chuyển động nhé.

Bài toán: Một người đi từ A đến B. Trên

1/4

quãng đường đầu, người đó đi với vận tốc \(v_1\). Nửa thời gian còn lại, người đó đi với vận tốc \(v_2\). Nửa quãng đường cuối, người đó đi với vận tốc \(v_3\). Tính vận tốc trung bình trên cả đoạn đường.

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại công thức tính vận tốc trung bình:

Vận tốc trung bình = Tổng quãng đường / Tổng thời gian

Phân tích bài toán:

Gọi quãng đường AB là S.

Giai đoạn 1:

Quãng đường đi được là \(S_1 = \frac{1}{4}S\)

Vận tốc là \(v_1\)

Thời gian đi giai đoạn này là \(t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\frac{1}{4}S}{v_1} = \frac{S}{4v_1}\)

Còn lại:

Quãng đường còn lại là \(S – S_1 = S – \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S\)

Thời gian còn lại là \(T_{con\_lai} = \frac{S_{con\_lai}}{v_{tb}}\) – nhưng chúng ta chưa biết vận tốc trung bình của phần còn lại, nên chúng ta sẽ chia phần còn lại thành 2 giai đoạn dựa trên thời gian.

Giai đoạn 2:

Nửa thời gian còn lại đi với vận tốc \(v_2\). Chúng ta cần xác định “nửa thời gian còn lại” này là bao nhiêu.

Tổng thời gian đi trên cả đoạn đường là \(T = t_1 + t_2 + t_3\)

Chúng ta có \(S_1 = \frac{1}{4}S\). Quãng đường còn lại là \(\frac{3}{4}S\).

Đề bài nói “nửa thời gian còn lại đi với vận tốc \(v_2\)” và “nửa quãng đường cuối đi với vận tốc \(v_3\)”. Hai thông tin này có vẻ hơi mâu thuẫn nếu hiểu theo cách thông thường. Chúng ta sẽ hiểu đề bài theo cách sau đây, là phần thời gian còn lại sau giai đoạn 1 được chia làm hai nửa bằng nhau, mỗi nửa đi với một vận tốc khác nhau.

Cách hiểu 1 (Phổ biến nhất cho loại bài này):

Quãng đường đi được: \(S\)

Thời gian đi: \(T\)

Giai đoạn 1:

Quãng đường: \(S_1 = \frac{1}{4}S\)

Vận tốc: \(v_1\)

Thời gian: \(t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{4v_1}\)

Thời gian còn lại sau giai đoạn 1 là: \(T_{con\_lai} = T – t_1\)

Nửa thời gian còn lại: \(t_{2\_thuc\_te} = \frac{T_{con\_lai}}{2} = \frac{T – t_1}{2}\)

Trong \(t_{2\_thuc\_te}\) này, người đó đi với vận tốc \(v_2\).

Quãng đường đi được trong giai đoạn này là: \(S_2 = v_2 \times t_{2\_thuc\_te} = v_2 \times \frac{T – t_1}{2}\)

Nửa quãng đường cuối đi với vận tốc \(v_3\).

Quãng đường cuối cùng là \(S_3 = \frac{1}{2}S\)

Vận tốc: \(v_3\)

Thời gian đi giai đoạn này là: \(t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{S/2}{v_3} = \frac{S}{2v_3}\)

Thử lại sự nhất quán của đề bài:

Tổng quãng đường: \(S = S_1 + S_2 + S_3\) ?

Chúng ta biết: \(S_1 = \frac{1}{4}S\) và \(S_3 = \frac{1}{2}S\).

Vậy quãng đường còn lại sau giai đoạn 1 và 3 là: \(S_{con\_lai\_2} = S – S_1 – S_3 = S – \frac{1}{4}S – \frac{1}{2}S = \frac{1}{4}S\)

Thực tế, đề bài có thể hiểu là quãng đường còn lại sau giai đoạn 1 (tức là \(\frac{3}{4}S\)) được chia thành hai phần: một phần đi với \(v_2\) trong một khoảng thời gian, và phần còn lại (\(S_3 = \frac{1}{2}S\)) đi với \(v_3\).

Nếu hiểu theo kiểu “nửa thời gian còn lại” và “nửa quãng đường cuối” là hai giai đoạn riêng biệt trong phần còn lại của hành trình sau \(S_1\), thì cách diễn đạt có thể hơi khó hiểu.

Chúng ta sẽ giải theo cách hiểu sau đây, vì nó hợp lý và thường gặp trong các bài toán chuyển động:

Quãng đường AB là S.

Giai đoạn 1:

Quãng đường: \(S_1 = \frac{1}{4}S\)

Vận tốc: \(v_1\)

Thời gian: \(t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{4v_1}\)

Giai đoạn 2:

Quãng đường còn lại sau giai đoạn 1 là: \(S_{con\_lai} = S – S_1 = S – \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S\)

Đề bài nói: “Nửa thời gian còn lại đi với vận tốc \(v_2\)”. “Thời gian còn lại” ở đây là tổng thời gian đi hết \(\frac{3}{4}S\).

Gọi tổng thời gian đi hết đoạn đường AB là T.

Thời gian đi hết \(\frac{3}{4}S\) là \(T – t_1\).

Nửa thời gian còn lại là: \(t_2 = \frac{T – t_1}{2}\)

Trong thời gian \(t_2\), người đó đi với vận tốc \(v_2\).

Quãng đường đi được trong giai đoạn 2 là: \(S_2 = v_2 \times t_2 = v_2 \times \frac{T – t_1}{2}\)

Giai đoạn 3:

Đề bài nói: “nửa quãng đường cuối đi với vận tốc \(v_3\)”.

Quãng đường cuối cùng là: \(S_3 = \frac{1}{2}S\)

Vận tốc: \(v_3\)

Thời gian đi giai đoạn 3 là: \(t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{S/2}{v_3} = \frac{S}{2v_3}\)

Kiểm tra lại cấu trúc bài toán:

Chúng ta có \(S = S_1 + S_2 + S_3\).

\(S_1 = \frac{1}{4}S\)

\(S_3 = \frac{1}{2}S\)

Vậy \(S_2 = S – S_1 – S_3 = S – \frac{1}{4}S – \frac{1}{2}S = \frac{1}{4}S\)

Bây giờ, chúng ta có thể thay \(S_2\) vào công thức tính \(t_2\):

\(\frac{1}{4}S = v_2 \times \frac{T – t_1}{2}\)

\(\frac{1}{4}S = v_2 \times \frac{T – \frac{S}{4v_1}}{2}\)

\(\frac{1}{2}S = v_2 \times (T – \frac{S}{4v_1})\)

\(\frac{1}{2}S = v_2 T – \frac{v_2 S}{4v_1}\)

\(v_2 T = \frac{1}{2}S + \frac{v_2 S}{4v_1}\)

\(T = \frac{1}{v_2} (\frac{1}{2}S + \frac{v_2 S}{4v_1}) = \frac{S}{2v_2} + \frac{S}{4v_1}\)

Đây là tổng thời gian T. Tuy nhiên, chúng ta đã có \(t_1\) và \(t_3\).

\(t_1 = \frac{S}{4v_1}\)

\(t_3 = \frac{S}{2v_3}\)

Chúng ta có \(T = t_1 + t_2 + t_3\).

Và \(S_2 = \frac{1}{4}S\).

Ta biết \(t_2\) là “nửa thời gian còn lại”. Nghĩa là phần thời gian để đi hết \(\frac{3}{4}S\).

Thời gian để đi hết \(\frac{3}{4}S\) là \(T – t_1\).

Vậy \(t_2 = \frac{T – t_1}{2}\).

Ta cũng có thể diễn đạt lại như sau: Tổng quãng đường \(S\) được chia thành 3 phần quãng đường \(S_1, S_2, S_3\).

Cách hiểu thứ hai (Hợp lý và thường gặp hơn):

Quãng đường AB là S.

Giai đoạn 1:

Quãng đường: \(S_1 = \frac{1}{4}S\)

Vận tốc: \(v_1\)

Thời gian: \(t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{4v_1}\)

Phần còn lại của hành trình là \(\frac{3}{4}S\).

Đề bài nói: “Nửa thời gian còn lại đi với vận tốc \(v_2\)”. Điều này có nghĩa là nếu tổng thời gian đi hết \(\frac{3}{4}S\) là \(T_{con\_lai}\), thì một nửa thời gian đó là \(t_2 = \frac{T_{con\_lai}}{2}\) đi với vận tốc \(v_2\), và nửa thời gian còn lại là \(t_3 = \frac{T_{con\_lai}}{2}\) đi với vận tốc khác.

Nhưng đề bài lại cho “nửa quãng đường cuối đi với vận tốc \(v_3\)”. Điều này có vẻ mâu thuẫn nếu “nửa thời gian còn lại” và “nửa quãng đường cuối” cùng đề cập đến phần còn lại của hành trình.

Chúng ta sẽ làm theo cách hiểu mà cấu trúc câu văn gợi ý một cách trực tiếp nhất:

Gọi quãng đường AB là S.

Phần 1:

Quãng đường: \(S_1 = \frac{1}{4}S\)

Vận tốc: \(v_1\)

Thời gian: \(t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{4v_1}\)

Phần 2:

Đây là “nửa thời gian còn lại”. Nghĩa là, sau khi đi hết \(\frac{1}{4}S\), thời gian còn lại để đi hết quãng đường S được chia đôi. Nhưng chúng ta lại không biết tổng thời gian T lúc ban đầu.

Cách hiểu hợp lý nhất cho dạng bài này là chia toàn bộ hành trình thành các giai đoạn theo quãng đường và thời gian một cách rõ ràng.

Giải theo cách hiểu sau (là cách hiểu phổ biến và ít gây mâu thuẫn nhất cho bài toán chuyển động):

Gọi quãng đường AB là S.

Giai đoạn 1:

Quãng đường: \(S_1 = \frac{1}{4}S\)

Vận tốc: \(v_1\)

Thời gian: \(t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{4v_1}\)

Giai đoạn 2:

Sau khi đi được \(S_1\), quãng đường còn lại là \(S_{con\_lai} = S – S_1 = \frac{3}{4}S\).

Đề bài nói “Nửa thời gian còn lại đi với vận tốc \(v_2\)”. “Thời gian còn lại” ở đây ám chỉ thời gian để hoàn thành \(\frac{3}{4}S\).

Chúng ta sẽ chia \(\frac{3}{4}S\) này thành 2 phần thời gian. Tuy nhiên, đề bài lại cho “nửa quãng đường cuối đi với vận tốc \(v_3\)”.

Thử một cách diễn giải khác:

Quãng đường AB là S.

Phần 1:

Quãng đường: \(S_1 = \frac{1}{4}S\)

Vận tốc: \(v_1\)

Thời gian: \(t_1 = \frac{S}{4v_1}\)

Phần 2:

Nửa thời gian còn lại đi với vận tốc \(v_2\). Có nghĩa là, nếu tổng thời gian của cả hành trình là T, thì \(t_1 + t_2 + t_3 = T\). Và \(t_2 = \frac{T – t_1}{2}\).

Vận tốc: \(v_2\)

Quãng đường đi được trong giai đoạn này: \(S_2 = v_2 \times t_2 = v_2 \times \frac{T – t_1}{2}\)

Phần 3:

Nửa quãng đường cuối đi với vận tốc \(v_3\).

Quãng đường: \(S_3 = \frac{1}{2}S\)

Vận tốc: \(v_3\)

Thời gian: \(t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{S}{2v_3}\)

Ta có tổng quãng đường: \(S = S_1 + S_2 + S_3\)

\(S = \frac{1}{4}S + S_2 + \frac{1}{2}S\)

\(S_2 = S – \frac{1}{4}S – \frac{1}{2}S = \frac{1}{4}S\)

Bây giờ thay \(S_2\) vào công thức của \(t_2\):

\(\frac{1}{4}S = v_2 \times \frac{T – t_1}{2}\)

\(\frac{1}{2}S = v_2 (T – t_1)\)

\(\frac{1}{2}S = v_2 T – v_2 t_1\)

\(v_2 T = \frac{1}{2}S + v_2 t_1\)

Ta có \(t_1 = \frac{S}{4v_1}\) và \(t_3 = \frac{S}{2v_3}\).

Tổng thời gian \(T = t_1 + t_2 + t_3\).

Mà \(t_2 = \frac{T – t_1}{2}\), suy ra \(2t_2 = T – t_1\), hay \(T = 2t_2 + t_1\).

Từ \(S_2 = v_2 t_2\), ta có \(t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/4}{v_2} = \frac{S}{4v_2}\).

Vậy \(T = 2 \times \frac{S}{4v_2} + \frac{S}{4v_1} = \frac{S}{2v_2} + \frac{S}{4v_1}\).

Bây giờ chúng ta có đầy đủ các yếu tố để tính vận tốc trung bình:

Tổng quãng đường: \(S_{tong} = S\)

Tổng thời gian: \(T_{tong} = t_1 + t_2 + t_3\)

\(t_1 = \frac{S}{4v_1}\)

\(t_2 = \frac{S}{4v_2}\)

\(t_3 = \frac{S}{2v_3}\)

Tổng thời gian \(T_{tong} = \frac{S}{4v_1} + \frac{S}{4v_2} + \frac{S}{2v_3}\)

\(T_{tong} = S \left( \frac{1}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} + \frac{1}{2v_3} \right)\)

Vận tốc trung bình \(v_{tb}\) trên cả đoạn đường là:

\(v_{tb} = \frac{S_{tong}}{T_{tong}} = \frac{S}{S \left( \frac{1}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} + \frac{1}{2v_3} \right)}\)

\(v_{tb} = \frac{1}{\frac{1}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} + \frac{1}{2v_3}}\)

Để tính toán gọn gàng hơn, ta quy đồng mẫu số trong phần mẫu của biểu thức:

Mẫu số chung của \(4v_1, 4v_2, 2v_3\) là \(4v_1v_2v_3\).

\(\frac{1}{4v_1} = \frac{v_2v_3}{4v_1v_2v_3}\)

\(\frac{1}{4v_2} = \frac{v_1v_3}{4v_1v_2v_3}\)

\(\frac{1}{2v_3} = \frac{2v_1v_2}{4v_1v_2v_3}\)

Vậy, phần mẫu của \(v_{tb}\) là:

\(\frac{v_2v_3}{4v_1v_2v_3} + \frac{v_1v_3}{4v_1v_2v_3} + \frac{2v_1v_2}{4v_1v_2v_3} = \frac{v_2v_3 + v_1v_3 + 2v_1v_2}{4v_1v_2v_3}\)

Do đó, vận tốc trung bình là:

\(v_{tb} = \frac{1}{\frac{v_2v_3 + v_1v_3 + 2v_1v_2}{4v_1v_2v_3}}\)

\(v_{tb} = \frac{4v_1v_2v_3}{v_2v_3 + v_1v_3 + 2v_1v_2}\)

Kết luận:

Vận tốc trung bình trên cả đoạn đường AB là \(\frac{4v_1v_2v_3}{v_1v_3 + v_2v_3 + 2v_1v_2}\).

Các em thấy đấy, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ đề bài, xác định đúng các giai đoạn và mối liên hệ giữa quãng đường, thời gian và vận tốc. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!