Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán chuyển động rất thú vị và đòi hỏi sự tư duy logic. Bài toán này có thể sẽ hơi “xoắn não” một chút, nhưng nếu chúng ta phân tích kỹ từng dữ kiện thì mọi thứ sẽ trở nên rõ ràng thôi.

Chúng ta hãy cùng đọc đề bài nhé:
Một người đi từ A đến B với vận tốc 12 km/h, tàu đi tiếp từ B đến C với vận tốc 6 km/h. Tổng quãng đường đi là 1 giờ 15 phút. Lúc người đó đi từ C về B với vận tốc 8 km/h rồi từ B về A với 4 km/h. Tổng thời gian khi về là 1 giờ 30 phút. Tính độ dài quãng đường AB và BC.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tóm tắt và đổi đơn vị các đại lượng đã cho.

Trước hết, chúng ta cần xác định các đại lượng đã biết và các đại lượng cần tìm. Để tiện tính toán, chúng ta nên đổi tất cả các đơn vị thời gian về cùng một đơn vị, ở đây là giờ.

• Quãng đường:
• Gọi độ dài quãng đường AB là \(S_{AB}\) (km).
• Gọi độ dài quãng đường BC là \(S_{BC}\) (km).
• Lượt đi (từ A đến C):
• Vận tốc đi từ A đến B: \(v_{AB_1} = 12\) km/h.
• Vận tốc đi từ B đến C: \(v_{BC_1} = 6\) km/h.
• Tổng thời gian lượt đi: \(T_{đi} = 1\) giờ \(15\) phút.
• Đổi \(1\) giờ \(15\) phút ra giờ: \(1 + \frac{15}{60} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\) giờ.
• Lượt về (từ C về A):
• Vận tốc đi từ C đến B: \(v_{CB_2} = 8\) km/h.
• Vận tốc đi từ B về A: \(v_{BA_2} = 4\) km/h.
• Tổng thời gian lượt về: \(T_{về} = 1\) giờ \(30\) phút.
• Đổi \(1\) giờ \(30\) phút ra giờ: \(1 + \frac{30}{60} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) giờ.

Bước 2: Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Chúng ta biết rằng, thời gian di chuyển bằng quãng đường chia cho vận tốc (công thức: \(t = \frac{S}{v}\)). Dựa vào công thức này và các dữ kiện đã cho, chúng ta có thể lập được hai phương trình.

1. Đối với lượt đi (từ A đến C):

Thời gian đi từ A đến B là: \(t_{AB_1} = \frac{S_{AB}}{v_{AB_1}} = \frac{S_{AB}}{12}\) (giờ).

Thời gian đi từ B đến C là: \(t_{BC_1} = \frac{S_{BC}}{v_{BC_1}} = \frac{S_{BC}}{6}\) (giờ).

Tổng thời gian lượt đi là: \(t_{AB_1} + t_{BC_1} = T_{đi}\).

Vậy, ta có phương trình thứ nhất:

\(\frac{S_{AB}}{12} + \frac{S_{BC}}{6} = \frac{5}{4}\) (Phương trình 1)

2. Đối với lượt về (từ C về A):

Thời gian đi từ C về B là: \(t_{CB_2} = \frac{S_{BC}}{v_{CB_2}} = \frac{S_{BC}}{8}\) (giờ). (Lưu ý: quãng đường CB chính là quãng đường BC).

Thời gian đi từ B về A là: \(t_{BA_2} = \frac{S_{AB}}{v_{BA_2}} = \frac{S_{AB}}{4}\) (giờ). (Lưu ý: quãng đường BA chính là quãng đường AB).

Tổng thời gian lượt về là: \(t_{CB_2} + t_{BA_2} = T_{về}\).

Vậy, ta có phương trình thứ hai:

\(\frac{S_{BC}}{8} + \frac{S_{AB}}{4} = \frac{3}{2}\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ phương trình gồm hai ẩn \(S_{AB}\) và \(S_{BC}\):

1) \(\frac{S_{AB}}{12} + \frac{S_{BC}}{6} = \frac{5}{4}\)

2) \(\frac{S_{AB}}{4} + \frac{S_{BC}}{8} = \frac{3}{2}\)

Để giải hệ này dễ hơn, chúng ta sẽ khử mẫu số cho mỗi phương trình:

* Với Phương trình 1:

Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số (12, 6, 4) là 12.

Nhân cả hai vế của phương trình 1 với 12:

\(12 \cdot \left(\frac{S_{AB}}{12} + \frac{S_{BC}}{6}\right) = 12 \cdot \frac{5}{4}\)

\(S_{AB} + 2S_{BC} = 15\) (Phương trình 1′)

* Với Phương trình 2:

Tìm BCNN của các mẫu số (4, 8, 2) là 8.

Nhân cả hai vế của phương trình 2 với 8:

\(8 \cdot \left(\frac{S_{AB}}{4} + \frac{S_{BC}}{8}\right) = 8 \cdot \frac{3}{2}\)

\(2S_{AB} + S_{BC} = 12\) (Phương trình 2′)

Bây giờ, chúng ta có một hệ phương trình đơn giản hơn:

I) \(S_{AB} + 2S_{BC} = 15\)

II) \(2S_{AB} + S_{BC} = 12\)

Chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, thầy sẽ dùng phương pháp cộng đại số.

Nhân Phương trình II với 2 để hệ số của \(S_{BC}\) đối nhau hoặc bằng nhau:

\(2 \cdot (2S_{AB} + S_{BC}) = 2 \cdot 12\)

\(4S_{AB} + 2S_{BC} = 24\) (Phương trình II”)

Bây giờ, trừ Phương trình I từ Phương trình II”:

\((4S_{AB} + 2S_{BC}) – (S_{AB} + 2S_{BC}) = 24 – 15\)

\(4S_{AB} – S_{AB} + 2S_{BC} – 2S_{BC} = 9\)

\(3S_{AB} = 9\)

\(S_{AB} = \frac{9}{3}\)

\(S_{AB} = 3\) km

Sau khi tìm được \(S_{AB}\), chúng ta thay giá trị này vào một trong hai phương trình I hoặc II để tìm \(S_{BC}\). Thầy sẽ thay vào Phương trình I:

\(3 + 2S_{BC} = 15\)

\(2S_{BC} = 15 – 3\)

\(2S_{BC} = 12\)

\(S_{BC} = \frac{12}{2}\)

\(S_{BC} = 6\) km

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả.

Hãy cùng kiểm tra xem các giá trị \(S_{AB} = 3\) km và \(S_{BC} = 6\) km có thỏa mãn các điều kiện của bài toán không nhé:

* Đối với lượt đi:

• Thời gian A đến B: \(\frac{3 \text{ km}}{12 \text{ km/h}} = \frac{1}{4}\) giờ.
• Thời gian B đến C: \(\frac{6 \text{ km}}{6 \text{ km/h}} = 1\) giờ.
• Tổng thời gian lượt đi: \(\frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\) giờ.
• Mà \(\frac{5}{4}\) giờ \( = 1\) giờ \(15\) phút. (Chính xác!)

* Đối với lượt về:

• Thời gian C về B: \(\frac{6 \text{ km}}{8 \text{ km/h}} = \frac{3}{4}\) giờ.
• Thời gian B về A: \(\frac{3 \text{ km}}{4 \text{ km/h}} = \frac{3}{4}\) giờ.
• Tổng thời gian lượt về: \(\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) giờ.
• Mà \(\frac{3}{2}\) giờ \( = 1\) giờ \(30\) phút. (Chính xác!)

Cả hai điều kiện đều được thỏa mãn, vậy kết quả chúng ta tìm được là đúng.

Kết luận:

Vậy, độ dài quãng đường AB là 3 km và độ dài quãng đường BC là 6 km.

Các em thấy không, một bài toán phức tạp đến mấy cũng có thể giải được nếu chúng ta biết cách phân tích, đặt ẩn và lập hệ phương trình một cách cẩn thận. Hãy luôn nhớ các bước giải toán này trong các bài toán chuyển động khác nhé!