Chào các em học sinh lớp 12!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng giải một bài toán thực tế rất hay liên quan đến việc tối ưu hóa lợi nhuận của một nhà sản xuất. Đây là dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi liên quan đến ứng dụng đạo hàm, các em cần nắm vững phương pháp nhé.

Đề bài:

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng 100 ti vi mỗi tuần. Nếu hàm chi phí hàng tuần là C(x)= 2x-16000 (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra ở tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán (triệu đồng) như thế nào để lợi nhuận lớn nhất?

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một.

Bước 1: Xác định các đại lượng ban đầu và mối quan hệ thay đổi.

Chúng ta có các thông tin ban đầu:

• Số lượng ti vi bán ra ban đầu (gọi là \(x_0\)): 1000 chiếc.
• Giá bán ban đầu (gọi là \(p_0\)): 14 triệu đồng/chiếc.

Mối quan hệ thay đổi:

• Mỗi lần giảm giá 500 nghìn đồng (tức 0.5 triệu đồng), số lượng bán tăng 100 chiếc.

Bước 2: Xây dựng hàm cầu (quan hệ giữa giá bán và số lượng bán).

Gọi \(n\) là số lần giảm giá 500 nghìn đồng. Khi đó:

Số lượng ti vi bán ra (\(x\)) sẽ là:
\(x = x_0 + 100n = 1000 + 100n\)
Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn \(n\) theo \(x\):
\(100n = x – 1000\)
\(n = \frac{x – 1000}{100} = 0.01x – 10\) \((1)\)

Giá bán (\(p\)) sẽ là:
\(p = p_0 – 0.5n = 14 – 0.5n\) \((2)\)

Thế \((1)\) vào \((2)\) để biểu diễn giá bán \(p\) theo số lượng bán \(x\):
\(p = 14 – 0.5(0.01x – 10)\)
\(p = 14 – 0.005x + 5\)
\(p = 19 – 0.005x\)
Đây chính là hàm cầu, thể hiện mối quan hệ giữa giá bán và số lượng ti vi bán ra.

Bước 3: Xây dựng hàm doanh thu (\(R(x)\)).

Doanh thu (\(R\)) được tính bằng công thức: \(R = \text{Giá bán} \times \text{Số lượng bán}\).
\(R(x) = p \times x\)
Thế biểu thức của \(p\) theo \(x\) vào:
\(R(x) = (19 – 0.005x)x\)
\(R(x) = 19x – 0.005x^2\)

Bước 4: Xây dựng hàm lợi nhuận (\(L(x)\)).

Lợi nhuận (\(L\)) được tính bằng công thức: \(L = \text{Doanh thu} – \text{Chi phí}\).
Chúng ta có hàm chi phí \(C(x) = 2x – 16000\) (triệu đồng).

Vậy hàm lợi nhuận là:
\(L(x) = R(x) – C(x)\)
\(L(x) = (19x – 0.005x^2) – (2x – 16000)\)
\(L(x) = 19x – 0.005x^2 – 2x + 16000\)
\(L(x) = -0.005x^2 + 17x + 16000\)

Bước 5: Tìm số lượng ti vi (\(x\)) để lợi nhuận lớn nhất.

Hàm lợi nhuận \(L(x) = -0.005x^2 + 17x + 16000\) là một hàm bậc hai có dạng parabol úp xuống (vì hệ số của \(x^2\) là \(-0.005 < 0\)). Do đó, lợi nhuận sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Để tìm giá trị \(x\) mà tại đó lợi nhuận đạt cực đại, chúng ta lấy đạo hàm bậc nhất của \(L(x)\) và cho nó bằng 0.

\(L'(x) = \frac{d}{dx}(-0.005x^2 + 17x + 16000)\)
\(L'(x) = -0.005 \times 2x + 17 + 0\)
\(L'(x) = -0.01x + 17\)

Đặt \(L'(x) = 0\) để tìm điểm cực trị:
\(-0.01x + 17 = 0\)
\(0.01x = 17\)
\(x = \frac{17}{0.01}\)
\(x = 1700\)

Vậy, số lượng ti vi bán ra 1700 chiếc mỗi tuần sẽ mang lại lợi nhuận cao nhất.

Để kiểm tra lại đây là cực đại, chúng ta có thể tính đạo hàm bậc hai:
\(L”(x) = \frac{d}{dx}(-0.01x + 17) = -0.01\).
Vì \(L”(x) = -0.01 < 0\), điều này khẳng định \(x = 1700\) là điểm mà tại đó hàm lợi nhuận đạt giá trị cực đại.

Bước 6: Tính giá bán (\(p\)) tương ứng để lợi nhuận lớn nhất.

Đề bài yêu cầu tìm giá bán để lợi nhuận lớn nhất. Chúng ta đã có số lượng ti vi bán ra tối ưu là \(x = 1700\).

Sử dụng lại hàm cầu: \(p = 19 – 0.005x\).
Thế \(x = 1700\) vào:
\(p = 19 – 0.005 \times 1700\)
\(p = 19 – 8.5\)
\(p = 10.5\)

Kết luận:

Để lợi nhuận lớn nhất, nhà sản xuất nên đặt giá bán là 10.5 triệu đồng một chiếc ti vi.

Hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để nắm vững kiến thức nhé!