Bài toán: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B chậm hơn 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định.

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng chưa biết và đặt ẩn cho chúng. Trong bài toán này, chúng ta cần tìm quãng đường AB và thời gian dự định.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định các đại lượng liên quan.

Gọi quãng đường AB là \( S \) (km).

Gọi thời gian dự định đi từ A đến B là \( t \) (giờ).

Chúng ta đều biết công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là: \( S = v \times t \).

Bước 2: Phân tích dữ kiện bài toán để lập các phương trình.

Dữ kiện 1: “Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B chậm hơn 2 giờ.”

Trong trường hợp này, vận tốc của xe là \( v_1 = 35 \) km/h.

Thời gian thực tế xe đi là \( t_1 \).

Vì xe đến B chậm hơn 2 giờ so với thời gian dự định, nên ta có mối quan hệ:

\( t_1 = t + 2 \)

Áp dụng công thức \( S = v \times t \), ta có quãng đường AB trong trường hợp này là:

\( S = v_1 \times t_1 \)

\( S = 35 \times (t + 2) \)

Ta được phương trình thứ nhất: \( S = 35t + 70 \) (1)

Dữ kiện 2: “Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ.”

Trong trường hợp này, vận tốc của xe là \( v_2 = 50 \) km/h.

Thời gian thực tế xe đi là \( t_2 \).

Vì xe đến B sớm hơn 1 giờ so với thời gian dự định, nên ta có mối quan hệ:

\( t_2 = t – 1 \)

Áp dụng công thức \( S = v \times t \), ta có quãng đường AB trong trường hợp này là:

\( S = v_2 \times t_2 \)

\( S = 50 \times (t – 1) \)

Ta được phương trình thứ hai: \( S = 50t – 50 \) (2)

Bước 3: Lập hệ phương trình và giải.

Từ hai phương trình (1) và (2), chúng ta có một hệ phương trình hai ẩn S và t:

\( \begin{cases} S = 35t + 70 \\ S = 50t – 50 \end{cases} \)

Vì hai phương trình đều bằng S, chúng ta có thể cho hai vế phải bằng nhau để giải:

\( 35t + 70 = 50t – 50 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển các hạng tử chứa t về một vế và các hạng tử tự do về vế còn lại:

\( 70 + 50 = 50t – 35t \)

\( 120 = 15t \)

Giải tìm t:

\( t = \frac{120}{15} \)

\( t = 8 \)

Vậy, thời gian dự định là 8 giờ.

Bước 4: Tìm quãng đường AB.

Chúng ta có thể thay giá trị của t vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm S. Thầy sẽ thay vào phương trình (1):

\( S = 35t + 70 \)

\( S = 35 \times 8 + 70 \)

\( S = 280 + 70 \)

\( S = 350 \)

Hoặc thay vào phương trình (2):

\( S = 50t – 50 \)

\( S = 50 \times 8 – 50 \)

\( S = 400 – 50 \)

\( S = 350 \)

Kết quả đều giống nhau, vậy quãng đường AB là 350 km.

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả và kết luận.

Thời gian dự định: \( t = 8 \) giờ.

Quãng đường AB: \( S = 350 \) km.

Kiểm tra với trường hợp 1: Vận tốc 35 km/h.

Thời gian đi thực tế: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{350}{35} = 10 \) giờ.

So với thời gian dự định: \( 10 \) giờ – \( 8 \) giờ = \( 2 \) giờ (chậm hơn 2 giờ, đúng).

Kiểm tra với trường hợp 2: Vận tốc 50 km/h.

Thời gian đi thực tế: \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{350}{50} = 7 \) giờ.

So với thời gian dự định: \( 8 \) giờ – \( 7 \) giờ = \( 1 \) giờ (sớm hơn 1 giờ, đúng).

Vậy, quãng đường AB dài 350 km và thời gian dự định là 8 giờ.

Các em thấy đó, bằng cách đặt ẩn và lập hệ phương trình, chúng ta đã giải quyết bài toán một cách logic và chính xác. Hãy luôn nhớ phân tích kỹ đề bài để xác định đúng các đại lượng và thiết lập mối quan hệ giữa chúng nhé!