Một ô tô dự định đi từ vị trí `A` đến `B` trong một thời gian nhất định với vận…
Chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán chuyển động rất thú vị và quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Đây là dạng bài toán liên quan đến vận tốc, thời gian và quãng đường, đòi hỏi chúng ta phải lập hệ phương trình để giải quyết.
Đề bài: Một ô tô dự định đi từ vị trí \(A\) đến \(B\) trong một thời gian nhất định với vận tốc xác định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm \(10\) km/h thì sẽ đến \(B\) sớm hơn \(40\) phút so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi \(10\) km/h thì sẽ đến \(B\) muộn \(1\) giờ so với dự định. Hỏi chiều dài quãng đường \(AB\) là bao nhiêu km?
Chúng ta hãy cùng nhau phân tích bài toán nhé!
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Gọi các ẩn số và đặt điều kiện
Để giải bài toán này, chúng ta cần gọi các đại lượng chưa biết:
- Gọi chiều dài quãng đường \(AB\) là \(S\) (km). Điều kiện: \(S > 0\).
- Gọi vận tốc dự định của ô tô là \(v\) (km/h). Điều kiện: \(v > 10\) (vì vận tốc có thể giảm đi \(10\) km/h).
- Gọi thời gian dự định ô tô đi hết quãng đường \(AB\) là \(t\) (giờ). Điều kiện: \(t > 0\).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo công thức cơ bản
Theo công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian, ta có:
\(S = v \times t\) \(\enspace\) (1)
Bước 3: Chuyển đổi đơn vị thời gian
Đề bài cho thời gian sớm hơn là \(40\) phút. Chúng ta cần chuyển đổi đơn vị này sang giờ để thống nhất với đơn vị vận tốc (km/h):
\(40\) phút \( = \frac{40}{60}\) giờ \( = \frac{2}{3}\) giờ.
Bước 4: Lập các phương trình dựa trên các trường hợp thay đổi vận tốc
Trường hợp 1: Ô tô tăng vận tốc thêm \(10\) km/h
- Vận tốc mới: \(v’ = v + 10\) (km/h).
- Thời gian đến \(B\) sớm hơn \(40\) phút (\(\frac{2}{3}\) giờ) so với dự định.
- Thời gian thực tế đi: \(t’ = t – \frac{2}{3}\) (giờ).
- Quãng đường \(AB\) không đổi, nên ta có phương trình:
\(S = (v + 10) \times (t – \frac{2}{3})\) \(\enspace\) (2)
Trường hợp 2: Ô tô giảm vận tốc đi \(10\) km/h
- Vận tốc mới: \(v” = v – 10\) (km/h).
- Thời gian đến \(B\) muộn hơn \(1\) giờ so với dự định.
- Thời gian thực tế đi: \(t” = t + 1\) (giờ).
- Quãng đường \(AB\) không đổi, nên ta có phương trình:
\(S = (v – 10) \times (t + 1)\) \(\enspace\) (3)
Bước 5: Giải hệ phương trình
Từ (1), (2) và (3), chúng ta có một hệ phương trình. Ta sẽ thế \(S = v \times t\) vào (2) và (3):
Từ phương trình (2):
\(v \times t = (v + 10)(t – \frac{2}{3})\)
\(v \times t = v \times t – \frac{2}{3}v + 10t – \frac{20}{3}\)
\(0 = -\frac{2}{3}v + 10t – \frac{20}{3}\)
Nhân cả hai vế với \(3\) để khử mẫu:
\(0 = -2v + 30t – 20\)
\(2v – 30t = -20\)
Chia cả hai vế cho \(2\):
\(v – 15t = -10\) \(\enspace\) (Phương trình A)
Từ phương trình (3):
\(v \times t = (v – 10)(t + 1)\)
\(v \times t = v \times t + v – 10t – 10\)
\(0 = v – 10t – 10\)
\(v – 10t = 10\) \(\enspace\) (Phương trình B)
Bây giờ chúng ta có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(v\) và \(t\):
\(\begin{cases} v – 15t = -10 \quad (A) \\ v – 10t = 10 \quad (B) \end{cases}\)
Trừ phương trình (A) cho phương trình (B), ta được:
\((v – 15t) – (v – 10t) = -10 – 10\)
\(v – 15t – v + 10t = -20\)
\(-5t = -20\)
\(t = \frac{-20}{-5}\)
\(t = 4\) (giờ)
Thay \(t = 4\) vào phương trình (B) (hoặc A cũng được), ta có:
\(v – 10 \times 4 = 10\)
\(v – 40 = 10\)
\(v = 10 + 40\)
\(v = 50\) (km/h)
Kiểm tra điều kiện: \(v = 50 > 10\) và \(t = 4 > 0\). Các giá trị này hợp lệ.
Bước 6: Tính chiều dài quãng đường \(AB\)
Bây giờ chúng ta đã có vận tốc dự định \(v = 50\) km/h và thời gian dự định \(t = 4\) giờ. Chúng ta sẽ tính quãng đường \(AB\) theo công thức (1):
\(S = v \times t\)
\(S = 50 \times 4\)
\(S = 200\) (km)
Bước 7: Kiểm tra lại (tùy chọn nhưng rất nên làm)
- Dự định: \(v = 50\) km/h, \(t = 4\) h. Quãng đường \(S = 200\) km.
- Tăng vận tốc: \(v’ = 50 + 10 = 60\) km/h. Thời gian \(t’ = \frac{200}{60} = \frac{10}{3}\) h.
- Giảm vận tốc: \(v” = 50 – 10 = 40\) km/h. Thời gian \(t” = \frac{200}{40} = 5\) h.
Thời gian sớm hơn: \(4 – \frac{10}{3} = \frac{12}{3} – \frac{10}{3} = \frac{2}{3}\) h \( = 40\) phút. (Đúng)
Thời gian muộn hơn: \(5 – 4 = 1\) h. (Đúng)
Kết luận:
Vậy, chiều dài quãng đường \(AB\) là \(200\) km.
Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để nắm vững kiến thức nhé!
Chúc các em học tốt!
Ta có: \(40\) phút \(= 2/3h\)
Gọi chiều dài quãng đường AB là: \(x ( km )\) ( đk \(x > 0\) )
Gọi vận tốc dự định là: \(y ( km//h )\) ( đk \(y > 10\) )
Vận tốc sau khi tăng là: \(y + 10 ( km//h )\)
Vận tốc sau khi giảm là: \(y – 10 ( km//h )\)
Thời gian đi khi vận tốc tăng là: \(x/( y + 10 ) ( h )\)
Thời gian đi khi vận tốc giảm là: \(x/( y – 10 ) ( h )\)
Thời gian đi dự định là: \(x/y ( h )\)
Theo bài ra ta có hệ pt:
\({( x/( y + 10 ) = x/y – 2/3 ),( x/( y – 10 ) = x/y + 1 ):}\)
\({( x/( y – 10 ) = x/y + 1 ),( x/( y – 10 ) – x/( y + 10 ) = 5/3 ):}\)
\({( xy = xy – 10x + y( y – 10 )),( x( y + 10 ) – x( y – 10 ) = 5/3( y – 10 )( y + 10 )):}\)
\({( 10x = y^2 – 10y ),( xy + 10x – xy + 10x = 5/3( y^2 – 100 )):}\)
\({( 10x = y^2 – 10y ( 1 )),( 60x = 5y^2 – 500 ( 2 )):}\)
\(( 1 ) ; ( 2 ) => 6( y^2 – 10y ) = 5y^2 – 500\)
\(6y^2 – 60y = 5y^2 – 500\)
\(y^2 – 60y + 500 = 0\)
\(( y – 10 )( y – 50 ) = 0\)
\(Do y > 10 => y – 10 > 0\)
\(y = 50 ( 3 )\)
\(( 1 ) ; ( 3 ) => 10x = 2000 => x = 200\) ( TMĐK của ẩn )
Vậy quãng đường AB dài \(200 km\)
Đổi \(40\) phút \(= 2/3\) giờ
Gọi \(x\) \((km//h)\) là vận tốc của ô tô \((x ne 0, x ne +-10)\)
\(y\) \((km)\) là chiều dài quãng đường \(AB\) \((y > 0)\)
Theo đề có hệ phương trình:
\({(y/x – 2/3 = y/(x + 10)),(y/x + 1 = y/(x – 10)):}\)
\({(y/x – y/(x + 10) = 2/3),(y/x – y/(x – 10) = -1):}\)
\({((y ( x + 10 ))/(x ( x + 10 )) – (xy)/(x ( x + 10 )) = 2/3),((y ( x – 10 ))/(x ( x – 10 )) – (xy)/(x ( x – 10 )) = -1):}\)
\({((y ( x + 10 ) – xy)/(x ( x + 10 )) = 2/3),((y ( x – 10 ) – xy)/(x ( x – 10 )) = -1):}\)
\({((xy + 10y – xy)/(x ( x + 10 )) = 2/3),((xy – 10y – xy)/(x ( x – 10 )) = -1):}\)
\({((10y)/(x ( x + 10 )) = 2/3),((-10y)/(x ( x – 10 )) = -1):}\)
\({(30y = 2x ( x + 10 )),(10y = x ( x – 10 )):}\)
\({(15y = x ( x + 10 )),(10y = x ( x – 10 )):}\)
\({(15y = x^2 + 10x),(10y = x^2 – 10x):}\)
\({(y = (x^2 + 10x)/15 (1)),(y = (x^2 – 10x)/10 (2)):}\)
\((1)(2)\) suy ra: \((x^2 + 10x)/15 = (x^2 – 10x)/10\)
\(10 ( x^2 + 10x ) = 15 ( x^2 – 10x )\)
\(10x^2 + 100x = 15x^2 – 150x\)
\(5x^2 = 250x\)
\(5x = 250\)
\(x = 50\) ™
Chiều dài quãng đường \(AB\) là: \((50^2 + 10 . 50)/15 = 200\) \((km)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment