Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập khá thú vị về hiện tượng vật lý liên quan đến chất khí và áp suất. Đây là một dạng bài điển hình trong chương trình Vật lí lớp 10 (về chất khí) và ứng dụng kiến thức về áp suất chất lỏng.

Đề bài: Một ống tiết diện nhỏ chiều dài \(l = 1 \text{ m}\), hai đầu hở và được nhúng thẳng đứng vào chậu đựng thủy ngân Hg sao cho thủy ngân ngập một nửa ống. Sau đó lấy tay bịt kín đầu trên và nhấc ra. Cột thủy ngân còn lại trong ống dài bao nhiêu biết áp suất khí quyển \(P_0 = 76 \text{ cmHg}\).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích từng bước một nhé!

I. Phân tích bài toán và xác định các trạng thái của khí

Trước hết, chúng ta cần xác định rõ trạng thái ban đầu của khối khí bị nhốt trong ống và trạng thái cuối cùng của nó sau khi thay đổi điều kiện.

Đổi đơn vị: Chiều dài ống \(l = 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\).

1. Trạng thái ban đầu (Khi ống nhúng trong thủy ngân, chưa bịt đầu trên):

Khi ống nhúng thẳng đứng vào chậu thủy ngân sao cho thủy ngân ngập một nửa ống, nghĩa là:

• Phần ống ngập trong thủy ngân: \(l/2 = 100/2 = 50 \text{ cm}\).
• Phần ống còn lại (ở trên mặt thủy ngân): \(l/2 = 50 \text{ cm}\).

Lúc này, cả hai đầu ống đều hở, nên không khí trong phần ống phía trên mặt thủy ngân có áp suất bằng áp suất khí quyển.

Bên cạnh đó, thể tích của khối khí bị nhốt (không khí trong ống) tỷ lệ thuận với chiều dài của cột khí, do ống có tiết diện nhỏ và đều.

Chúng ta gọi các thông số ở trạng thái ban đầu là \(P_1\) và \(L_1\):

Áp suất của khối khí bị nhốt ban đầu: \(P_1 = P_0 = 76 \text{ cmHg}\).

Chiều dài cột khí bị nhốt ban đầu: \(L_1 = l/2 = 50 \text{ cm}\).

2. Trạng thái cuối cùng (Khi bịt đầu trên và nhấc ống ra):

Khi ta bịt kín đầu trên và nhấc ống ra khỏi chậu, cột thủy ngân bên trong ống sẽ tụt xuống một đoạn và không khí bị nhốt sẽ giãn nở ra.

Gọi \(h\) là chiều cao của cột thủy ngân còn lại trong ống (đây chính là đại lượng cần tìm).

Chiều dài cột khí bị nhốt lúc này: \(L_2 = l – h = (100 – h) \text{ cm}\).

Để xác định áp suất \(P_2\) của khối khí bị nhốt, chúng ta xét sự cân bằng áp suất tại mặt thoáng của thủy ngân bên ngoài ống. Tại mặt thoáng này, áp suất là áp suất khí quyển \(P_0\).

Ở cùng mức ngang với mặt thoáng thủy ngân bên ngoài, nhưng bên trong ống, áp suất bao gồm áp suất của cột khí bị nhốt \(P_2\) cộng với áp suất do cột thủy ngân có chiều cao \(h\) gây ra.

Vậy, ta có phương trình cân bằng áp suất:

\(P_0 = P_2 + h\)

Từ đó, áp suất của khối khí bị nhốt ở trạng thái cuối là: \(P_2 = P_0 – h = (76 – h) \text{ cmHg}\).

II. Áp dụng định luật Boyle-Mariotte

Vì quá trình này diễn ra ở nhiệt độ không đổi (ta bỏ qua sự thay đổi nhiệt độ), ta có thể áp dụng định luật Boyle-Mariotte cho khối khí bị nhốt:

\(P_1 L_1 = P_2 L_2\)

Thay các giá trị đã xác định từ hai trạng thái vào phương trình:

\(76 \times 50 = (76 – h) \times (100 – h)\)

\(3800 = (76 – h)(100 – h)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và giải phương trình bậc hai này:

\(3800 = 7600 – 76h – 100h + h^2\)

\(3800 = 7600 – 176h + h^2\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\(h^2 – 176h + 7600 – 3800 = 0\)

\(h^2 – 176h + 3800 = 0\)

Để giải phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), chúng ta dùng công thức nghiệm:

\(h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)

Với \(a=1\), \(b=-176\), \(c=3800\):

Tính biệt thức \(\Delta\):

\(\Delta = (-176)^2 – 4 \times 1 \times 3800\)

\(\Delta = 30976 – 15200\)

\(\Delta = 15776\)

Tính căn bậc hai của \(\Delta\):

\(\sqrt{\Delta} \approx 125.6025\)

Vậy, ta có hai nghiệm của \(h\):

\(h_1 = \frac{176 + \sqrt{15776}}{2} \approx \frac{176 + 125.6025}{2} = \frac{301.6025}{2} \approx 150.8 \text{ cm}\)

\(h_2 = \frac{176 – \sqrt{15776}}{2} \approx \frac{176 – 125.6025}{2} = \frac{50.3975}{2} \approx 25.2 \text{ cm}\)

III. Biện luận kết quả

Chúng ta có hai nghiệm toán học, nhưng cần phải kiểm tra xem nghiệm nào là hợp lý về mặt vật lý:

• Chiều cao cột thủy ngân \(h\) không thể lớn hơn chiều dài ống \(l\). Tức là \(h \le 100 \text{ cm}\).
  • Nghiệm \(h_1 = 150.8 \text{ cm}\) lớn hơn \(100 \text{ cm}\), vậy nghiệm này bị loại.
  • Nghiệm \(h_2 = 25.2 \text{ cm}\) nhỏ hơn \(100 \text{ cm}\), vậy nghiệm này có thể chấp nhận.
• Áp suất của khối khí \(P_2\) phải là một giá trị dương.
  • Với \(h_2 = 25.2 \text{ cm}\), ta có \(P_2 = 76 – h_2 = 76 – 25.2 = 50.8 \text{ cmHg}\). Đây là một giá trị dương, hợp lý.
• Chiều dài cột khí \(L_2\) cũng phải là một giá trị dương.
  • Với \(h_2 = 25.2 \text{ cm}\), ta có \(L_2 = 100 – h_2 = 100 – 25.2 = 74.8 \text{ cm}\). Đây là một giá trị dương, hợp lý.

Vậy, nghiệm hợp lý duy nhất là \(h = 25.2 \text{ cm}\).

IV. Kết luận

Chiều dài cột thủy ngân còn lại trong ống là \(25.2 \text{ cm}\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách áp dụng định luật Boyle-Mariotte cũng như nguyên lý cân bằng áp suất trong các bài toán thực tế. Chúc các em học tốt!