Bài toán: Một thác nước có độ cao 40m. Nhiệt dung riêng của nước là 4200J/kg.K và g=10m/s^2. Nếu độ giảm thế năng của nước chuyển hóa hoàn toàn thành nội năng của nước thì độ chênh lệch nhiệt độ của nước ở bể dưới và ở bể trên của thác nước là bao nhiêu?

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng đã cho trong bài:

• Độ cao của thác nước: \(h = 40 \, m\)
• Nhiệt dung riêng của nước: \(c = 4200 \, J/kg.K\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \, m/s^2\)

Chúng ta cần tìm độ chênh lệch nhiệt độ của nước ở bể dưới so với bể trên. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm \(\Delta T = T_{dưới} – T_{trên}\).

Giả thiết quan trọng là độ giảm thế năng của nước chuyển hóa hoàn toàn thành nội năng của nước. Điều này cho phép chúng ta thiết lập một phương trình cân bằng năng lượng.

Giải bài toán:

Xét một khối lượng nước m rơi từ đỉnh thác xuống đáy thác.

1. Tính độ giảm thế năng của khối nước:

Thế năng của một vật được tính bằng công thức: \(W_t = mgh\).

Khi khối nước m rơi từ độ cao \(h\) xuống, độ giảm thế năng của nó sẽ là:

\(\Delta W_t = W_{t,trên} – W_{t,dưới}\)

Nếu ta chọn mốc thế năng tại đáy thác (nơi bể nước ở dưới), thì thế năng của nước ở đỉnh thác là \(mgh\) và thế năng của nước ở đáy thác là 0.

Do đó, độ giảm thế năng là:

\(\Delta W_t = mgh – 0 = mgh\)

Thay số vào, ta có:

\(\Delta W_t = m \times 10 \, m/s^2 \times 40 \, m = 400m \, J\)

2. Tính nhiệt lượng tăng thêm của khối nước:

Theo giả thiết, độ giảm thế năng này chuyển hóa hoàn toàn thành nội năng, mà sự tăng nội năng này biểu hiện ở sự tăng nhiệt độ của nước. Lượng nhiệt mà khối nước nhận được (làm tăng nhiệt độ của nó) được tính bằng công thức:

\(Q = mc\Delta T\)

Trong đó:

• \(Q\) là nhiệt lượng khối nước nhận được.
• \(m\) là khối lượng nước.
• \(c\) là nhiệt dung riêng của nước (\(4200 \, J/kg.K\)).
• \(\Delta T\) là độ chênh lệch nhiệt độ mà chúng ta cần tìm.

3. Thiết lập phương trình cân bằng năng lượng:

Vì toàn bộ độ giảm thế năng chuyển hóa thành nhiệt năng (nội năng), ta có:

\(\Delta W_t = Q\)

Thay các biểu thức đã tính vào:

\(mgh = mc\Delta T\)

4. Tìm độ chênh lệch nhiệt độ \(\Delta T\):

Ta có thể rút gọn \(m\) ở cả hai vế của phương trình:

\(gh = c\Delta T\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình để tìm \(\Delta T\):

\(\Delta T = \frac{gh}{c}\)

Thay các giá trị đã cho vào:

\(\Delta T = \frac{10 \, m/s^2 \times 40 \, m}{4200 \, J/kg.K}\)

\(\Delta T = \frac{400 \, J/kg}{4200 \, J/kg.K}\)

\(\Delta T = \frac{4}{42} \, K = \frac{2}{21} \, K\)

Kết luận:

Độ chênh lệch nhiệt độ của nước ở bể dưới và ở bể trên của thác nước là \(\frac{2}{21} \, K\).

Điều này có nghĩa là nhiệt độ của nước ở bể dưới sẽ cao hơn nhiệt độ của nước ở bể trên một lượng rất nhỏ là khoảng 0.095 Kelvin (hoặc 0.095 độ C).

Nhận xét:

Bài toán này minh họa cho định luật bảo toàn năng lượng, cụ thể là sự chuyển hóa từ cơ năng (thế năng) sang nhiệt năng (nội năng). Mặc dù sự tăng nhiệt độ là nhỏ, nhưng nó là một hiện tượng vật lý có thật.

Các em có câu hỏi nào không?