Bài toán cho chúng ta biết:
Một vật có khối lượng \(m = 100 \text{g}\) dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình:
\(x = 8\cos(2\pi t + \pi) \text{ cm}\)

Chúng ta cần tìm:
a) Cơ năng, động năng và thế năng của vật khi vật cách vị trí biên 5 cm.
b) Kể từ lúc \(t = 0\), tìm thời điểm thứ tư vật có động năng bằng 3 lần thế năng. Lúc đó vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
c) Kể từ lúc \(t = 0\), sau thời gian bao lâu vật đi được quãng đường 140 cm? Lúc đó tốc độ của vật bằng bao nhiêu?

—

Phần a) Tìm cơ năng, động năng và thế năng của vật khi vật cách vị trí biên 5 cm

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng đặc trưng của dao động từ phương trình \(x = 8\cos(2\pi t + \pi) \text{ cm}\).
Biên độ dao động: \(A = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}\).
Tần số góc: \(\omega = 2\pi \text{ rad/s}\).
Khối lượng vật: \(m = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}\).

1. Tính cơ năng (E):
Cơ năng của con lắc lò xo được tính bằng công thức:
\(E = \frac{1}{2} k A^2\)
Tuy nhiên, chúng ta chưa có \(k\). Ta có thể tính \(k\) từ \(\omega\):
\(k = m \omega^2 = 0.1 \times (2\pi)^2 = 0.1 \times 4\pi^2 = 0.4\pi^2 \text{ N/m}\).
Vậy, cơ năng là:
\(E = \frac{1}{2} \times 0.4\pi^2 \times (0.08)^2 = 0.2\pi^2 \times 0.0064 = 0.00128\pi^2 \text{ J}\).

Một cách khác, ta có thể tính cơ năng bằng:
\(E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2\)
\(E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (2\pi)^2 \times (0.08)^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 4\pi^2 \times 0.0064 = 0.00128\pi^2 \text{ J}\).

2. Tính động năng (W_đ) và thế năng (W_t) khi vật cách vị trí biên 5 cm:
Vị trí biên là \(x = \pm A\). Khi vật cách vị trí biên 5 cm, có nghĩa là khoảng cách từ vị trí đó đến biên bằng 5 cm.
Nếu vật ở gần biên dương (\(x = A\)), thì \(x = A – 5 \text{ cm}\).
Nếu vật ở gần biên âm (\(x = -A\)), thì \(x = -A + 5 \text{ cm}\).
Trong cả hai trường hợp, độ lớn li độ \(|x|\) đều bằng \(A – 5 \text{ cm}\).
\(A = 8 \text{ cm}\), vậy \(|x| = 8 – 5 = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}\).

Thế năng được tính bằng công thức:
\(W_t = \frac{1}{2} k x^2\)
\(W_t = \frac{1}{2} \times (0.4\pi^2) \times (0.03)^2 = 0.2\pi^2 \times 0.0009 = 0.00018\pi^2 \text{ J}\).

Động năng được tính bằng công thức:
\(W_đ = E – W_t\)
\(W_đ = 0.00128\pi^2 – 0.00018\pi^2 = 0.0011\pi^2 \text{ J}\).

Hoặc chúng ta có thể tính động năng trực tiếp:
Động năng tại vị trí \(x\) là: \(W_đ = \frac{1}{2} m v^2\).
Ta có \(\omega^2 = \frac{k}{m}\). \(v^2 = \omega^2 (A^2 – x^2)\).
\(W_đ = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 – x^2) = \frac{1}{2} k (A^2 – x^2)\).
\(W_đ = \frac{1}{2} \times (0.4\pi^2) \times ((0.08)^2 – (0.03)^2)\)
\(W_đ = 0.2\pi^2 \times (0.0064 – 0.0009) = 0.2\pi^2 \times 0.0055 = 0.0011\pi^2 \text{ J}\).

Kết luận phần a:
Cơ năng của vật là \(E = 0.00128\pi^2 \text{ J}\).
Động năng của vật là \(W_đ = 0.0011\pi^2 \text{ J}\).
Thế năng của vật là \(W_t = 0.00018\pi^2 \text{ J}\).

—

Phần b) Kể từ lúc t = 0 tìm thời điểm thứ tư vật có động năng bằng 3 lần thế năng. Lúc đó vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

Ta có phương trình dao động: \(x = 8\cos(2\pi t + \pi) \text{ cm}\).
Khi \(t = 0\), \(x = 8\cos(\pi) = -8 \text{ cm}\). Vật đang ở vị trí biên âm.

Điều kiện động năng bằng 3 lần thế năng:
\(W_đ = 3 W_t\)
Ta biết \(W_đ + W_t = E\).
Thay \(W_đ = 3W_t\) vào phương trình trên:
\(3W_t + W_t = E \implies 4W_t = E \implies W_t = \frac{E}{4}\).

Thế năng được tính bằng \(W_t = \frac{1}{2} k x^2\).
Do đó: \(\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2)\)
\(x^2 = \frac{1}{4} A^2\)
\(|x| = \frac{A}{2}\).

Với \(A = 8 \text{ cm}\), ta có \(|x| = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}\).
Điều này có nghĩa là vật ở các vị trí \(x = 4 \text{ cm}\) hoặc \(x = -4 \text{ cm}\).

Bây giờ, chúng ta cần tìm các thời điểm \(t \geq 0\) mà \(x = 4 \text{ cm}\) hoặc \(x = -4 \text{ cm}\).
Phương trình là \(x = 8\cos(2\pi t + \pi)\).

Trường hợp 1: \(x = 4 \text{ cm}\)
\(4 = 8\cos(2\pi t + \pi)\)
\(\cos(2\pi t + \pi) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
\(2\pi t + \pi = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi\) (với \(n\) là số nguyên)

* Xét dấu ‘+’: \(2\pi t + \pi = \frac{\pi}{3} + 2n\pi\)
\(2\pi t = \frac{\pi}{3} – \pi + 2n\pi = -\frac{2\pi}{3} + 2n\pi\)
\(t = -\frac{1}{3} + n\)
Vì \(t \geq 0\), ta chọn \(n=1\), \(t_1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \text{ s}\).
(Nếu \(n=0\), \(t = -1/3 < 0\)). * Xét dấu '-': \(2\pi t + \pi = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi\) \(2\pi t = -\frac{\pi}{3} - \pi + 2n\pi = -\frac{4\pi}{3} + 2n\pi\) \(t = -\frac{2}{3} + n\) Vì \(t \geq 0\), ta chọn \(n=1\), \(t = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} \text{ s}\). (Nếu \(n=0\), \(t = -2/3 < 0\)). Trường hợp 2: \(x = -4 \text{ cm}\) \(-4 = 8\cos(2\pi t + \pi)\) \(\cos(2\pi t + \pi) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\) \(2\pi t + \pi = \pm \frac{2\pi}{3} + 2n\pi\) (với \(n\) là số nguyên) * Xét dấu '+': \(2\pi t + \pi = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi\) \(2\pi t = \frac{2\pi}{3} - \pi + 2n\pi = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi\) \(t = -\frac{1}{6} + n\) Vì \(t \geq 0\), ta chọn \(n=1\), \(t = -\frac{1}{6} + 1 = \frac{5}{6} \text{ s}\). (Nếu \(n=0\), \(t = -1/6 < 0\)). * Xét dấu '-': \(2\pi t + \pi = -\frac{2\pi}{3} + 2n\pi\) \(2\pi t = -\frac{2\pi}{3} - \pi + 2n\pi = -\frac{5\pi}{3} + 2n\pi\) \(t = -\frac{5}{6} + n\) Vì \(t \geq 0\), ta chọn \(n=1\), \(t = -\frac{5}{6} + 1 = \frac{1}{6} \text{ s}\). (Nếu \(n=0\), \(t = -5/6 < 0\)). Vậy các thời điểm \(t \geq 0\) để \(|x| = 4 \text{ cm}\) là: \(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{5}{6}, \frac{2}{3} \text{ s}\). Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: \(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6} \text{ s}\). Tại \(t=0\), vật ở \(x = -8 \text{ cm}\). Lần thứ nhất (\(t = \frac{1}{6} \text{ s}\)): \(x = -4 \text{ cm}\). Vật đi từ \(-8\) đến \(-4\). Quãng đường là \(|-4 - (-8)| = 4 \text{ cm}\). Lần thứ hai (\(t = \frac{1}{3} \text{ s}\)): \(x = 4 \text{ cm}\). Vật đi từ \(-4\) đến \(4\). Quãng đường là \(|4 - (-4)| = 8 \text{ cm}\). Lần thứ ba (\(t = \frac{2}{3} \text{ s}\)): \(x = -4 \text{ cm}\). Vật đi từ \(4\) đến \(-4\). Quãng đường là \(|-4 - 4| = 8 \text{ cm}\). Lần thứ tư (\(t = \frac{5}{6} \text{ s}\)): \(x = 4 \text{ cm}\). Vật đi từ \(-4\) đến \(4\). Quãng đường là \(|4 - (-4)| = 8 \text{ cm}\). Ta cần tìm thời điểm thứ tư vật có \(|x| = 4 \text{ cm}\). Đó là \(t = \frac{5}{6} \text{ s}\). Bây giờ, tính quãng đường vật đi được từ \(t=0\) đến \(t = \frac{5}{6} \text{ s}\). Tại \(t=0\), \(x(0) = -8 \text{ cm}\). Tại \(t = \frac{5}{6} \text{ s}\), \(x(\frac{5}{6}) = 8\cos(2\pi \frac{5}{6} + \pi) = 8\cos(\frac{5\pi}{3} + \pi) = 8\cos(\frac{8\pi}{3}) = 8\cos(\frac{2\pi}{3}) = 8 \times (-\frac{1}{2}) = -4 \text{ cm}\). Quãng đường đi được từ \(t=0\) đến \(t = \frac{5}{6}\) là: Vật bắt đầu từ \(x=-8\). Đi đến \(x=-4\) lần 1 (tại \(t=1/6\)). Quãng đường: 4 cm. Đi đến \(x=4\) lần 2 (tại \(t=1/3\)). Quãng đường: 4 cm đến 8 cm. Tổng 4+8 = 12 cm. Đi đến \(x=-4\) lần 3 (tại \(t=2/3\)). Quãng đường: 8 cm đến 12 cm. Tổng 12+8 = 20 cm. Đi đến \(x=4\) lần 4 (tại \(t=5/6\)). Quãng đường: 12 cm đến 20 cm. Tổng 20+8 = 28 cm. Hoặc cách tính khác: Biểu diễn trên đường tròn: Tại \(t=0\), pha là \(\pi\), vị trí \(x = -8\). Ta cần tìm thời điểm thứ tư vật đi qua các vị trí \(x = \pm 4\). Các pha tương ứng là \(\pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi\) và \(\pm \frac{2\pi}{3} + 2n\pi\). Phương trình pha: \(\phi = 2\pi t + \pi\). Khi \(t=0\), \(\phi = \pi\). Các thời điểm (tính pha) thỏa mãn \(|x| = 4 \text{ cm}\) tức là \(\cos(\phi) = \pm 1/2\). \(\phi = \pi/3, 2\pi/3, 4\pi/3, 5\pi/3, \dots\) Pha ban đầu là \(\pi\). Ta cần tìm pha \(\phi = 2\pi t + \pi\) sao cho \(\cos(\phi) = 1/2\) hoặc \(\cos(\phi) = -1/2\). Các giá trị pha \(\phi\) thỏa mãn \(\cos(\phi) = 1/2\) hoặc \(\cos(\phi) = -1/2\): \(\phi = \pi/3, 2\pi/3, 4\pi/3, 5\pi/3, 7\pi/3, 8\pi/3, \dots\) Ta có \(\phi = 2\pi t + \pi\). \(\pi/3 = 2\pi t + \pi \implies 2\pi t = -\frac{2\pi}{3} \implies t = -1/3\) (loại) \(2\pi/3 = 2\pi t + \pi \implies 2\pi t = -\frac{\pi}{3} \implies t = -1/6\) (loại) \(4\pi/3 = 2\pi t + \pi \implies 2\pi t = \frac{\pi}{3} \implies t = 1/6\) (lần 1) \(5\pi/3 = 2\pi t + \pi \implies 2\pi t = \frac{2\pi}{3} \implies t = 1/3\) (lần 2) \(7\pi/3 = 2\pi t + \pi \implies 2\pi t = \frac{4\pi}{3} \implies t = 2/3\) (lần 3) \(8\pi/3 = 2\pi t + \pi \implies 2\pi t = \frac{5\pi}{3} \implies t = 5/6\) (lần 4) Vậy thời điểm thứ tư là \(t = \frac{5}{6} \text{ s}\). Bây giờ tính quãng đường đi được từ \(t=0\) đến \(t = \frac{5}{6} \text{ s}\). Tại \(t=0\), \(x(0) = -8 \text{ cm}\). Pha ban đầu \(\phi_0 = \pi\). Tại \(t = \frac{5}{6} \text{ s}\), pha \(\phi = 2\pi (\frac{5}{6}) + \pi = \frac{5\pi}{3} + \pi = \frac{8\pi}{3}\). Độ dịch chuyển pha: \(\Delta\phi = \phi - \phi_0 = \frac{8\pi}{3} - \pi = \frac{5\pi}{3}\). Trong một chu kỳ \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \text{ s}\), vật đi được quãng đường \(4A = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}\). Thời gian \(\Delta t = \frac{5}{6} \text{ s}\). Ta có thể chia thời gian này thành các phần. Cách dễ nhất là tính quãng đường dựa trên các vị trí vật đi qua: \(t=0\), \(x = -8\) \(t = 1/6\), \(x = -4\) (Đi được \(|-4 - (-8)| = 4\) cm) \(t = 1/3\), \(x = 4\) (Đi được \(|4 - (-4)| = 8\) cm) \(t = 2/3\), \(x = -4\) (Đi được \(|-4 - 4| = 8\) cm) \(t = 5/6\), \(x = 4\) (Đi được \(|4 - (-4)| = 8\) cm) Tổng quãng đường đi được là: \(4 + 8 + 8 + 8 = 28 \text{ cm}\). Kết luận phần b:
Thời điểm thứ tư vật có động năng bằng 3 lần thế năng là \(t = \frac{5}{6} \text{ s}\).
Lúc đó, vật đi được quãng đường là \(28 \text{ cm}\).

—

Phần c) Kể từ lúc t = 0 sau thời gian bao lâu vật đi được quãng đường 140 cm? Lúc đó tốc độ của vật bằng bao nhiêu?

Ta có phương trình: \(x = 8\cos(2\pi t + \pi) \text{ cm}\).
Chu kỳ dao động \(T = 1 \text{ s}\).
Trong một chu kỳ, vật đi được quãng đường \(4A = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}\).

Quãng đường cần tìm là \(S = 140 \text{ cm}\).
Ta xem 140 cm chứa bao nhiêu chu kỳ:
\(140 \div 32 = 4.375\) chu kỳ.
Điều này có nghĩa là vật hoàn thành 4 chu kỳ đầy đủ và thêm một phần của chu kỳ tiếp theo.

Thời gian cho 4 chu kỳ đầu tiên là \(4T = 4 \times 1 = 4 \text{ s}\).
Quãng đường đi được trong 4 chu kỳ là \(4 \times 32 = 128 \text{ cm}\).
Thời gian còn lại để đi hết 140 cm là: \(140 – 128 = 12 \text{ cm}\).

Bây giờ, ta cần tìm thời gian để vật đi được 12 cm kể từ lúc \(t=4 \text{ s}\).
Tại \(t=4 \text{ s}\), vật đang ở vị trí \(x = 8\cos(2\pi \times 4 + \pi) = 8\cos(8\pi + \pi) = 8\cos(\pi) = -8 \text{ cm}\) (vị trí biên âm).
Vật đang quay theo chiều dương (từ biên âm hướng về biên dương).

Ta cần tìm thời gian \(\Delta t\) để đi được 12 cm kể từ \(x=-8\) theo chiều dương.
Ta có thể sử dụng đường tròn hoặc phương trình.

Sử dụng phương trình \(x = 8\cos(2\pi t + \pi)\).
Tại \(t=4\), \(x=-8\).
Ta tìm \(\Delta t\) sao cho vật đi được 12 cm.
Quãng đường đi được tính từ \(x(t_0)\) đến \(x(t_0 + \Delta t)\) không đơn giản chỉ là \(|x(t_0 + \Delta t) – x(t_0)|\) nếu có đổi chiều.
Tuy nhiên, vì vật bắt đầu từ biên âm và đi theo chiều dương, quãng đường đi được trong khoảng thời gian này là \(|x(4+\Delta t) – x(4)| = 12\).

Ta biết rằng \(x(4) = -8\).
Vậy, \(x(4+\Delta t)\) sẽ là: \(-8 + 12 = 4 \text{ cm}\) (nếu đi thẳng về phía dương mà không vượt quá biên dương).
Kiểm tra: \(A=8\). Từ \(-8\) đi 12 cm theo chiều dương sẽ đến vị trí \(x = -8 + 12 = 4 \text{ cm}\).

Vậy, ta cần tìm thời điểm \(t\) sao cho \(x(t) = 4 \text{ cm}\), bắt đầu từ \(t=4 \text{ s}\) và vật đang đi theo chiều dương.
\(4 = 8\cos(2\pi t + \pi)\)
\(\cos(2\pi t + \pi) = \frac{1}{2}\)
\(2\pi t + \pi = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi\)

Ta có \(t\) gần \(4\).
* \(2\pi t + \pi = \frac{\pi}{3} + 2n\pi\)
\(2\pi t = -\frac{2\pi}{3} + 2n\pi\)
\(t = -\frac{1}{3} + n\)
Nếu \(n=5\), \(t = -\frac{1}{3} + 5 = \frac{14}{3} \text{ s}\).
Kiểm tra tốc độ tại \(t=14/3\): \(v = -8\omega \sin(2\pi t + \pi) = -8(2\pi) \sin(2\pi(14/3) + \pi) = -16\pi \sin(28\pi/3 + \pi) = -16\pi \sin(31\pi/3)\).
\(31\pi/3 = 10\pi + \pi/3\). \(\sin(10\pi + \pi/3) = \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2\).
\(v = -16\pi (\sqrt{3}/2) = -8\pi\sqrt{3}\). Vận tốc âm, tức là đang đi về phía âm. Chúng ta cần đi về phía dương.

* \(2\pi t + \pi = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi\)
\(2\pi t = -\frac{4\pi}{3} + 2n\pi\)
\(t = -\frac{2}{3} + n\)
Nếu \(n=5\), \(t = -\frac{2}{3} + 5 = \frac{13}{3} \text{ s}\).
Kiểm tra tốc độ tại \(t=13/3\): \(v = -16\pi \sin(2\pi(13/3) + \pi) = -16\pi \sin(26\pi/3 + \pi) = -16\pi \sin(29\pi/3)\).
\(29\pi/3 = 9\pi + 2\pi/3\). \(\sin(9\pi + 2\pi/3) = \sin(\pi + 2\pi/3) = -\sin(2\pi/3) = -\sqrt{3}/2\).
\(v = -16\pi (-\sqrt{3}/2) = 8\pi\sqrt{3}\). Vận tốc dương, tức là đang đi về phía dương. Đây là thời điểm chúng ta cần.

Vậy thời điểm \(t = \frac{13}{3} \text{ s}\).
Thời gian để đi được quãng đường 140 cm là \(t = \frac{13}{3} \text{ s}\).

Bây giờ tính tốc độ của vật tại thời điểm \(t = \frac{13}{3} \text{ s}\).
\(v = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)\)
\(v = -0.08 \times 2\pi \times \sin(2\pi \times \frac{13}{3} + \pi)\)
\(v = -0.16\pi \sin(\frac{26\pi}{3} + \pi)\)
\(v = -0.16\pi \sin(\frac{29\pi}{3})\)
Ta biết \(\sin(\frac{29\pi}{3}) = \sin(9\pi + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
\(v = -0.16\pi \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0.08\pi\sqrt{3} \text{ m/s}\).

Đổi về cm/s: \(0.08\pi\sqrt{3} \times 100 = 8\pi\sqrt{3} \text{ cm/s}\).

Kiểm tra lại quãng đường:
\(t=0\), \(x=-8\).
\(t=4\), \(x=-8\).
Ta cần đi thêm 12 cm từ \(x=-8\) theo chiều dương.
Thời điểm \(t = 13/3 \approx 4.333\) s.
Pha tại \(t=13/3\): \(2\pi(13/3) + \pi = 26\pi/3 + \pi = 29\pi/3\).
\(\cos(29\pi/3) = \cos(9\pi + 2\pi/3) = \cos(\pi + 2\pi/3) = -\cos(2\pi/3) = -(-1/2) = 1/2\).
\(x = 8 \times (1/2) = 4 \text{ cm}\).
Vậy từ \(x=-8\) đến \(x=4\) theo chiều dương, quãng đường đi được là \(|4 – (-8)| = 12 \text{ cm}\).
Tổng quãng đường là \(128 + 12 = 140 \text{ cm}\). Chính xác.

Kết luận phần c:
Sau thời gian \(\frac{13}{3} \text{ s}\) kể từ lúc \(t=0\), vật đi được quãng đường 140 cm.
Lúc đó, tốc độ của vật là \(8\pi\sqrt{3} \text{ cm/s}\).

—
Các em thấy bài toán này có thú vị không? Chúng ta đã áp dụng các công thức về cơ năng, động năng, thế năng, và cách tính quãng đường trong dao động điều hòa. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé.