Bài tập:

Một vật có thể tích V được làm bằng vật liệu có khối lượng riêng \( \rho_{vật} = 380 \, \text{kg/m}^3 \) thả trong một chậu đựng nước có khối lượng riêng \( \rho_{nước} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \). Thể tích của vật nổi trên mặt nước là V’.

Yêu cầu:

1. Viết biểu thức liên hệ giữa V’ và V.

2. Giải thích kết quả.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các yếu tố đã biết và cần tìm.

Chúng ta đã biết:

• Khối lượng riêng của vật: \( \rho_{vật} = 380 \, \text{kg/m}^3 \)
• Khối lượng riêng của nước: \( \rho_{nước} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)
• Tổng thể tích của vật: V
• Thể tích của phần vật nổi trên mặt nước: V’

Chúng ta cần tìm biểu thức liên hệ giữa V’ và V.

Bước 2: Áp dụng nguyên lý lực đẩy Archimedes.

Khi một vật được nhúng trong chất lỏng, nó sẽ chịu một lực đẩy từ chất lỏng. Lực đẩy này có độ lớn bằng trọng lượng của phần chất lỏng bị vật chiếm chỗ. Đây chính là nguyên lý Archimedes.

Trong trường hợp vật nổi, lực đẩy Archimedes bằng với trọng lượng của vật.

Ta có:

• Trọng lượng của vật: \( P_{vật} = m_{vật} \cdot g \). Trong đó \( m_{vật} \) là khối lượng của vật và \( g \) là gia tốc trọng trường.
• Khối lượng của vật có thể tính bằng khối lượng riêng nhân với thể tích: \( m_{vật} = \rho_{vật} \cdot V \).
• Vậy, trọng lượng của vật là: \( P_{vật} = \rho_{vật} \cdot V \cdot g \).

Bây giờ, chúng ta xét lực đẩy Archimedes:

• Lực đẩy Archimedes: \( F_A = d_{nước} \cdot V_{chìm} \). Trong đó \( d_{nước} \) là trọng lượng riêng của nước và \( V_{chìm} \) là thể tích phần vật bị chìm trong nước.
• Trọng lượng riêng của nước: \( d_{nước} = \rho_{nước} \cdot g \).
• Thể tích phần vật bị chìm trong nước: Khi vật nổi, phần chìm trong nước chính là thể tích của vật trừ đi thể tích phần nổi. Tuy nhiên, để đơn giản, ta hãy nghĩ thế này: thể tích phần chìm chính là thể tích của nước bị vật chiếm chỗ. Nếu vật nổi có thể tích V’ nổi trên mặt nước, thì thể tích phần chìm của vật chính là \( V_{chìm} = V – V’ \). Nhưng cách suy nghĩ này không hoàn toàn đúng trong mọi trường hợp. Chúng ta sẽ sử dụng trực tiếp thể tích phần chìm.
• Quan trọng là: Phần vật chìm trong nước có thể tích là \( V_{chìm} \). Lực đẩy Archimedes sẽ bằng trọng lượng của lượng nước có thể tích bằng \( V_{chìm} \).
• Do đó, \( F_A = \rho_{nước} \cdot V_{chìm} \cdot g \).

Vì vật nổi nên:

\( P_{vật} = F_A \)

\( \rho_{vật} \cdot V \cdot g = \rho_{nước} \cdot V_{chìm} \cdot g \)

Ta có thể triệt tiêu \( g \) ở cả hai vế:

\( \rho_{vật} \cdot V = \rho_{nước} \cdot V_{chìm} \)

Chúng ta biết rằng thể tích phần nổi là V’, và tổng thể tích của vật là V. Do đó, thể tích phần chìm là \( V_{chìm} = V – V’ \). Tuy nhiên, đề bài cho V’ là thể tích phần nổi. Để viết biểu thức liên hệ giữa V’ và V, chúng ta cần dựa vào thể tích phần chìm.

Lưu ý quan trọng: Đề bài cho V’ là thể tích của vật nổi trên mặt nước. Điều này có nghĩa là phần vật chìm trong nước có thể tích là \( V_{chìm} \). Tổng thể tích của vật là V. Nếu V’ là thể tích phần nổi, thì thể tích phần chìm là \( V – V’ \). Tuy nhiên, cách đặt câu hỏi “thể tích của vật nổi trên mặt nước V'” thường ngụ ý V’ là phần thể tích của vật nằm trong nước, tức là thể tích phần chìm.

Để rõ ràng hơn, chúng ta sẽ hiểu V’ là thể tích phần vật bị chìm trong nước.

Khi đó, \( V_{chìm} = V’ \).

Thay vào phương trình:

\( \rho_{vật} \cdot V = \rho_{nước} \cdot V’ \)

Bước 3: Biểu diễn V’ theo V (hoặc ngược lại).

Từ biểu thức trên, chúng ta có thể rút ra:

\( V’ = \frac{\rho_{vật}}{\rho_{nước}} \cdot V \)

Đây là biểu thức liên hệ giữa V’ và V.

Bước 4: Giải thích kết quả.

Chúng ta có thể thay số vào để kiểm tra:

\( V’ = \frac{380 \, \text{kg/m}^3}{1000 \, \text{kg/m}^3} \cdot V \)

\( V’ = 0.38 \cdot V \)

Giải thích:

Kết quả \( V’ = 0.38 \cdot V \) cho thấy rằng thể tích phần vật chìm trong nước (V’) chỉ bằng 0.38 lần tổng thể tích của vật (V). Điều này có nghĩa là khoảng 38% thể tích của vật bị chìm trong nước, còn lại 62% thể tích của vật sẽ nổi lên trên mặt nước.

Lý do cho hiện tượng này là vì khối lượng riêng của vật ( \( \rho_{vật} = 380 \, \text{kg/m}^3 \) ) nhỏ hơn khối lượng riêng của nước ( \( \rho_{nước} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) ). Khi khối lượng riêng của vật nhỏ hơn khối lượng riêng của chất lỏng, vật sẽ nổi.

Độ lớn của tỉ lệ \( \frac{\rho_{vật}}{\rho_{nước}} \) chính là tỉ lệ thể tích phần chìm của vật so với tổng thể tích của vật. Tỉ lệ này luôn nhỏ hơn 1 khi vật nổi.

Nói cách khác, để trọng lượng của vật bằng với lực đẩy Archimedes, vật chỉ cần chiếm chỗ một lượng nước có trọng lượng bằng trọng lượng của nó. Vì khối lượng riêng của vật nhỏ, nên nó cần một thể tích nhỏ hơn để có cùng khối lượng so với nước. Do đó, chỉ một phần thể tích của vật bị chìm trong nước là đủ để tạo ra lực đẩy cân bằng với trọng lượng của vật.

Nếu khối lượng riêng của vật lớn hơn khối lượng riêng của nước, thì vật sẽ chìm hoàn toàn.

Hy vọng các em đã hiểu rõ bài tập này!