Chào em! Rất vui được hướng dẫn em giải bài tập này. Đây là một bài toán điển hình về Dao động điều hoà, chúng ta sẽ phân tích từ phương trình gia tốc để tìm ra phương trình li độ và vận tốc, sau đó thay số vào nhé.

Đề bài:

Một vật dao động điều hoà có phương trình gia tốc: \(a=75 \pi^2 \sin(5\pi . t+ \frac{\pi }{2}) \) (cm/s^2)

Yêu cầu: Tìm li độ (x) và vận tốc (v) tại thời điểm \(t = 2/15\) s.

Phân tích và Giải chi tiết:

Bước 1: Chuyển đổi và xác định các đại lượng cơ bản từ phương trình gia tốc.

Phương trình gia tốc của vật là: \(a=75 \pi^2 \sin(5\pi . t+ \frac{\pi }{2})\)

Chúng ta biết rằng có một công thức lượng giác rất hữu ích: \(\sin(X + \frac{\pi}{2}) = \cos(X)\).

Áp dụng công thức này vào phương trình gia tốc, ta có thể viết lại như sau:

\(a=75 \pi^2 \cos(5\pi . t)\) (1)

So sánh với phương trình gia tốc chuẩn của dao động điều hoà, ta biết rằng gia tốc có dạng \(a = – \omega^2 x\), hoặc nếu theo hàm cos thì \(a = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)\).
Hoặc, chúng ta có thể xem xét pha của các đại lượng. Nếu li độ \(x = A \cos(\omega t + \phi)\), thì vận tốc \(v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\) và gia tốc \(a = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)\).

Từ phương trình (1): \(a=75 \pi^2 \cos(5\pi . t)\)

Ta dễ dàng nhận thấy tần số góc \(\omega\):

\(\omega = 5\pi\) rad/s.

Bước 2: Tìm phương trình li độ (x) theo thời gian.

Chúng ta có mối liên hệ giữa gia tốc và li độ là \(a = -\omega^2 x\).

Từ đó, ta suy ra li độ \(x = -\frac{a}{\omega^2}\).

Thay phương trình gia tốc đã chuyển đổi (1) và \(\omega = 5\pi\) vào, ta được:

\(x = -\frac{75 \pi^2 \cos(5\pi t)}{(5\pi)^2}\)

\(x = -\frac{75 \pi^2 \cos(5\pi t)}{25\pi^2}\)

\(x = -3 \cos(5\pi t)\)

Đây chính là phương trình li độ của vật (đơn vị cm).

(Nếu muốn viết ở dạng chuẩn \(x = A \cos(\omega t + \phi)\), ta có thể dùng \(- \cos(X) = \cos(X + \pi)\). Vậy \(x = 3 \cos(5\pi t + \pi)\) cm. Từ đây ta thấy biên độ \(A = 3\) cm và pha ban đầu \(\phi = \pi\) rad.)

Bước 3: Tìm phương trình vận tốc (v) theo thời gian.

Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian: \(v = \frac{dx}{dt}\).

Từ phương trình li độ \(x = -3 \cos(5\pi t)\), ta đạo hàm:

\(v = \frac{d}{dt} (-3 \cos(5\pi t))\)

Áp dụng quy tắc đạo hàm: \((C \cdot \cos(kX))’ = C \cdot (-\sin(kX)) \cdot k\)

\(v = -3 \cdot (-\sin(5\pi t)) \cdot (5\pi)\)

\(v = 15\pi \sin(5\pi t)\) (cm/s)

Đây chính là phương trình vận tốc của vật.

Bước 4: Tính giá trị x và v tại thời điểm \(t = 2/15\) s.

Trước hết, ta tính giá trị của góc \(5\pi t\):

\(5\pi t = 5\pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{10\pi}{15} = \frac{2\pi}{3}\) rad.

Bây giờ thay giá trị này vào phương trình của x và v:

Tính li độ x:

\(x = -3 \cos(\frac{2\pi}{3})\)

Chúng ta biết \(\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\).

\(x = -3 \cdot (-\frac{1}{2})\)

\(x = \frac{3}{2} = 1.5\) cm.

Tính vận tốc v:

\(v = 15\pi \sin(\frac{2\pi}{3})\)

Chúng ta biết \(\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

\(v = 15\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(v = \frac{15\pi\sqrt{3}}{2}\) cm/s.

(Nếu muốn giá trị thập phân xấp xỉ: \(v \approx \frac{15 \cdot 3.14159 \cdot 1.73205}{2} \approx 40.81\) cm/s.)

Kết luận:

Tại thời điểm \(t = 2/15\) s:

Li độ của vật là \(x = 1.5\) cm.

Vận tốc của vật là \(v = \frac{15\pi\sqrt{3}}{2}\) cm/s.

Hy vọng em đã hiểu rõ cách giải bài này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!