Thầy là giáo viên Vật lý và hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa nhé!

Đề bài: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với quỹ đạo dài 16 cm và chu kì 3 giây tại thời điểm t = 8,5 giây vật qua vị trí có li độ x = 4cm theo chiều âm phương trình giao động của vật là.

Để viết được phương trình dao động điều hòa của vật, chúng ta cần xác định ba đại lượng: biên độ (A), tần số góc (ω) và pha ban đầu (φ).

Phương trình dao động điều hòa có dạng tổng quát là: \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\)

Chúng ta sẽ đi tìm từng đại lượng một nhé:

1. Tìm Biên độ (A):

Đề bài cho biết quỹ đạo dài của vật là 16 cm.

Quỹ đạo dài là quãng đường vật đi được trong nửa chu kì hoặc bằng 2 lần biên độ.

Vậy, \(2A = 16\) cm.

Từ đó suy ra, biên độ của dao động là: \(A = \frac{16}{2} = 8\) cm.

2. Tìm Tần số góc (ω):

Đề bài cho chu kì dao động \(T = 3\) giây.

Tần số góc được tính bằng công thức: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

Thay số vào, ta có: \(\omega = \frac{2\pi}{3}\) rad/s.

3. Tìm Pha ban đầu (φ):

Chúng ta đã có phương trình dao động một phần: \(x(t) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{3}t + \phi\right)\).

Để tìm \(\phi\), chúng ta sử dụng điều kiện đề bài cho tại thời điểm \(t = 8.5\) giây, vật có li độ \(x = 4\) cm và đang chuyển động theo chiều âm.

Đầu tiên, thay \(t = 8.5\) s và \(x = 4\) cm vào phương trình:

\(4 = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{3}(8.5) + \phi\right)\)

\(\frac{4}{8} = \cos\left(\frac{17\pi}{3} + \phi\right)\)

\(\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{17\pi}{3} + \phi\right)\)

Bây giờ, chúng ta xử lý số hạng \(\frac{17\pi}{3}\):

\(\frac{17\pi}{3} = \frac{18\pi – \pi}{3} = 6\pi – \frac{\pi}{3}\)

Vì hàm cosin có tính tuần hoàn với chu kì \(2\pi\), nên \(\cos(6\pi – \frac{\pi}{3} + \phi) = \cos(-\frac{\pi}{3} + \phi)\).

Vậy, ta có: \(\frac{1}{2} = \cos\left(\phi – \frac{\pi}{3}\right)\)

Từ đây, có hai trường hợp có thể xảy ra cho biểu thức trong hàm cosin:

Trường hợp 1: \(\phi – \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) (với \(k\) là số nguyên)

\(\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)

\(\phi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Chọn \(k=0\), ta được \(\phi_1 = \frac{2\pi}{3}\) rad.

Trường hợp 2: \(\phi – \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\)

\(\phi = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)

\(\phi = 0 + 2k\pi\)

Chọn \(k=0\), ta được \(\phi_2 = 0\) rad.

Để chọn pha ban đầu \(\phi\) đúng, chúng ta sử dụng điều kiện “vật qua vị trí có li độ x = 4cm theo chiều âm”.

Vận tốc của vật trong dao động điều hòa được tính bằng đạo hàm của li độ theo thời gian:

\(v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\)

Vì vật chuyển động theo chiều âm, nên \(v(t) < 0\).

\(-A\omega \sin\left(\frac{2\pi}{3}(8.5) + \phi\right) < 0\)

Vì \(A > 0\) và \(\omega > 0\), nên ta phải có: \(\sin\left(\frac{17\pi}{3} + \phi\right) > 0\)

Như đã phân tích ở trên, \(\frac{17\pi}{3} + \phi = \phi – \frac{\pi}{3} + 6\pi\). Vậy, điều kiện là \(\sin\left(\phi – \frac{\pi}{3}\right) > 0\).

Bây giờ, chúng ta kiểm tra từng giá trị \(\phi\) tìm được:

• Với \(\phi_1 = \frac{2\pi}{3}\):

\(\phi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\)

\(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Giá trị này lớn hơn 0. Vậy, \(\phi = \frac{2\pi}{3}\) là pha ban đầu đúng.

• Với \(\phi_2 = 0\):

\(\phi – \frac{\pi}{3} = 0 – \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}\)

\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Giá trị này nhỏ hơn 0. Vậy, \(\phi = 0\) không phải là pha ban đầu đúng.

Vậy, pha ban đầu của dao động là \(\phi = \frac{2\pi}{3}\) rad.

4. Viết phương trình dao động:

Sau khi xác định được \(A = 8\) cm, \(\omega = \frac{2\pi}{3}\) rad/s và \(\phi = \frac{2\pi}{3}\) rad, chúng ta có thể viết phương trình dao động của vật.

Phương trình dao động của vật là:

\(x(t) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{3}t + \frac{2\pi}{3}\right)\) cm.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này. Chúc các em học tốt!