Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa, một dạng bài khá thú vị và yêu cầu chúng ta nắm vững các công thức cơ bản cũng như khả năng biến đổi đại số linh hoạt.

Đề bài: Một vật dao động điều hòa. Khi vận tốc của vật là \(v_1\) thì gia tốc của vật là \(a_1\), khi vận tốc của vật là \(v_2\) thì gia tốc của vật là \(a_2\). Tìm biên độ \(A\) của dao động.

Phân tích và tìm hướng giải:

Để giải bài này, chúng ta cần nhớ lại các công thức cơ bản trong dao động điều hòa liên hệ giữa li độ \(x\), vận tốc \(v\), gia tốc \(a\), biên độ \(A\) và tần số góc \(\omega\).

Các công thức chính chúng ta sẽ sử dụng là:

1. Phương trình vận tốc: \(v = A\omega \cos(\omega t + \phi)\)
2. Phương trình gia tốc: \(a = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)\)
3. Mối liên hệ độc lập với thời gian giữa li độ, vận tốc và biên độ: \(A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\)
4. Mối liên hệ giữa gia tốc và li độ: \(a = -\omega^2 x\)

Từ công thức (1) và (2), chúng ta có thể suy ra một mối liên hệ rất quan trọng giữa \(v\), \(a\), \(A\) và \(\omega\) độc lập với thời gian. Chúng ta bình phương hai vế của (1) và (2):

\(v^2 = A^2\omega^2 \cos^2(\omega t + \phi)\) (Eq. 3)

\(a^2 = A^2\omega^4 \sin^2(\omega t + \phi)\)

Chia phương trình của \(a^2\) cho \(\omega^2\):

\(\frac{a^2}{\omega^2} = A^2\omega^2 \sin^2(\omega t + \phi)\) (Eq. 4)

Cộng (Eq. 3) và (Eq. 4) vế theo vế:

\(v^2 + \frac{a^2}{\omega^2} = A^2\omega^2 \cos^2(\omega t + \phi) + A^2\omega^2 \sin^2(\omega t + \phi)\)

\(v^2 + \frac{a^2}{\omega^2} = A^2\omega^2 (\cos^2(\omega t + \phi) + \sin^2(\omega t + \phi))\)

Vì \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\), nên ta có:

\(v^2 + \frac{a^2}{\omega^2} = A^2\omega^2\) (Cơ sở quan trọng)

Từ đây, ta có thể biểu diễn \(A^2\) theo \(v\), \(a\) và \(\omega\):

\(A^2 = \frac{v^2}{\omega^2} + \frac{a^2}{\omega^4}\) (Eq. 5)

Giải bài toán:

Áp dụng công thức (Eq. 5) cho hai trạng thái của vật:

Trạng thái 1: Khi vận tốc là \(v_1\), gia tốc là \(a_1\).

\(A^2 = \frac{v_1^2}{\omega^2} + \frac{a_1^2}{\omega^4}\) (Eq. 6)

Trạng thái 2: Khi vận tốc là \(v_2\), gia tốc là \(a_2\).

\(A^2 = \frac{v_2^2}{\omega^2} + \frac{a_2^2}{\omega^4}\) (Eq. 7)

Chúng ta có một hệ phương trình với hai ẩn là \(A^2\) và \(\frac{1}{\omega^2}\) (hoặc \(\frac{1}{\omega^4}\)).

Để dễ dàng hơn trong việc giải hệ, ta đặt \(u = \frac{1}{\omega^2}\). Khi đó \(\frac{1}{\omega^4} = u^2\).

Hệ phương trình trở thành:

\(A^2 = v_1^2 u + a_1^2 u^2\) (Eq. 8)

\(A^2 = v_2^2 u + a_2^2 u^2\) (Eq. 9)

Từ (Eq. 8) và (Eq. 9), ta có thể cho hai vế phải bằng nhau:

\(v_1^2 u + a_1^2 u^2 = v_2^2 u + a_2^2 u^2\)

Chuyển các số hạng chứa \(u\) và \(u^2\) về cùng một vế:

\((v_1^2 – v_2^2) u + (a_1^2 – a_2^2) u^2 = 0\)

Vì \(u = \frac{1}{\omega^2}\) không thể bằng 0 (nếu không vật sẽ không dao động), ta có thể chia cả hai vế cho \(u\):

\((v_1^2 – v_2^2) + (a_1^2 – a_2^2) u = 0\)

Giải tìm \(u\):

\((a_1^2 – a_2^2) u = -(v_1^2 – v_2^2)\)

\((a_1^2 – a_2^2) u = v_2^2 – v_1^2\)

\(u = \frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\)

Vậy ta đã tìm được \(\frac{1}{\omega^2}\):

\(\frac{1}{\omega^2} = \frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\) (Eq. 10)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(u\) vào một trong hai phương trình (Eq. 8) hoặc (Eq. 9) để tìm \(A^2\). Ta chọn (Eq. 8):

\(A^2 = v_1^2 u + a_1^2 u^2\)

Thay \(u\) từ (Eq. 10) vào:

\(A^2 = v_1^2 \left(\frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\right) + a_1^2 \left(\frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\right)^2\)

Để đơn giản biểu thức, ta có thể đặt thừa số chung \(\left(\frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\right)\):

\(A^2 = \left(\frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\right) \left[ v_1^2 + a_1^2 \left(\frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\right) \right]\)

Đồng mẫu số trong dấu ngoặc vuông:

\(A^2 = \left(\frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\right) \left[ \frac{v_1^2(a_1^2 – a_2^2) + a_1^2(v_2^2 – v_1^2)}{a_1^2 – a_2^2} \right]\)

Mở rộng và rút gọn tử số của biểu thức trong ngoặc vuông:

\(v_1^2 a_1^2 – v_1^2 a_2^2 + a_1^2 v_2^2 – a_1^2 v_1^2 = a_1^2 v_2^2 – v_1^2 a_2^2\)

Vậy, ta có:

\(A^2 = \left(\frac{v_2^2 – v_1^2}{a_1^2 – a_2^2}\right) \left( \frac{a_1^2 v_2^2 – v_1^2 a_2^2}{a_1^2 – a_2^2} \right)\)

\(A^2 = \frac{(v_2^2 – v_1^2)(a_1^2 v_2^2 – v_1^2 a_2^2)}{(a_1^2 – a_2^2)^2}\)

Cuối cùng, lấy căn bậc hai để tìm biên độ \(A\):

\(A = \sqrt{\frac{(v_2^2 – v_1^2)(a_1^2 v_2^2 – v_1^2 a_2^2)}{(a_1^2 – a_2^2)^2}}\)

Hoặc có thể viết gọn hơn một chút:

\(A = \frac{1}{|a_1^2 – a_2^2|} \sqrt{(v_2^2 – v_1^2)(a_1^2 v_2^2 – v_1^2 a_2^2)}\)

Kết luận:

Biên độ dao động \(A\) của vật là:

\(A = \frac{\sqrt{(v_2^2 – v_1^2)(a_1^2 v_2^2 – v_1^2 a_2^2)}}{|a_1^2 – a_2^2|}\)

Chúc các em học tốt!