Chúng ta có phương trình dao động của vật là:

x = 10cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\))

Từ phương trình này, chúng ta có thể xác định được các đại lượng đặc trưng của dao động:

Biên độ dao động: A = 10 cm

Tần số góc: \(\omega\) = \(\frac{4\pi}{3}\) rad/s

Pha ban đầu: \(\phi\) = -\(\frac{2\pi}{3}\) rad

Bây giờ, chúng ta sẽ đi tìm khoảng thời gian ngắn nhất trong từng trường hợp cụ thể.

—

a) Từ VTCB đến li độ x = 7

Vị trí cân bằng (VTCB) tương ứng với li độ x = 0.

Chúng ta cần tìm thời điểm t1 khi vật ở VTCB và thời điểm t2 khi vật có li độ x = 7 cm. Khoảng thời gian ngắn nhất chính là |t2 – t1|.

Khi vật ở VTCB, ta có cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = 0.

Điều này xảy ra khi \(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{2}\) + k\(\pi\) (với k là số nguyên).

Giải phương trình này cho t, ta có:

\(\frac{4\pi}{3}\)t = \(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{2\pi}{3}\) + k\(\pi\)

\(\frac{4\pi}{3}\)t = \(\frac{3\pi + 4\pi}{6}\) + k\(\pi\)

\(\frac{4\pi}{3}\)t = \(\frac{7\pi}{6}\) + k\(\pi\)

t = \(\frac{7}{6} \cdot \frac{3}{4} + k \cdot \frac{3}{4}\)

t = \(\frac{7}{8} + k \cdot \frac{3}{4}\) (s)

Để có khoảng thời gian ngắn nhất, chúng ta chọn giá trị k nhỏ nhất sao cho t > 0. Với k = 0, ta có t1 = \(\frac{7}{8}\) s.

Khi vật có li độ x = 7 cm, ta có:

10cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = 7

cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = \(\frac{7}{10}\)

Gọi \(\alpha\) = arccos(\(\frac{7}{10}\)).

Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\) = \(\alpha\) + 2n\(\pi\) (với n là số nguyên)

\(\frac{4\pi}{3}\)t = \(\alpha\) + \(\frac{2\pi}{3}\) + 2n\(\pi\)

t = \(\frac{3}{4\pi}\) (\(\alpha\) + \(\frac{2\pi}{3}\) + 2n\(\pi\)) = \(\frac{3\alpha}{4\pi} + \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}\)

Trường hợp 2: \(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\) = -\(\alpha\) + 2n\(\pi\)

\(\frac{4\pi}{3}\)t = -\(\alpha\) + \(\frac{2\pi}{3}\) + 2n\(\pi\)

t = \(\frac{3}{4\pi}\) (-\(\alpha\) + \(\frac{2\pi}{3}\) + 2n\(\pi\)) = -\(\frac{3\alpha}{4\pi} + \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}\)

Để tìm khoảng thời gian ngắn nhất từ VTCB đến x = 7, chúng ta cần xét xem vật đi từ VTCB đến x = 7 theo chiều nào.

Tại thời điểm t = 0, pha dao động là -\(\frac{2\pi}{3}\). Tại thời điểm t1 = \(\frac{7}{8}\) s, pha là \(\frac{\pi}{2}\). Vật đang đi theo chiều dương.

Từ VTCB (x=0) đi theo chiều dương, vật sẽ đến vị trí x=7. Ta chọn nghiệm t của cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = \(\frac{7}{10}\) sao cho pha dao động tăng dần từ \(\frac{\pi}{2}\).

Do đó, ta chọn trường hợp 1 với n = 0: t2 = \(\frac{3\alpha}{4\pi} + \frac{1}{2}\).

Khoảng thời gian ngắn nhất là \(\Delta\)t = t2 – t1 = (\(\frac{3\alpha}{4\pi} + \frac{1}{2}\)) – \(\frac{7}{8}\) = \(\frac{3\alpha}{4\pi} – \frac{3}{8}\).

Tuy nhiên, cách này hơi dài. Chúng ta có thể dùng đường tròn lượng giác để đơn giản hóa.

Tại VTCB, pha có thể là \(\frac{\pi}{2}\) hoặc -\(\frac{\pi}{2}\). Để tìm thời điểm ban đầu khi vật ở VTCB, ta xem xét pha ban đầu là -\(\frac{2\pi}{3}\). Vật sẽ đến VTCB lần đầu tiên khi pha là -\(\frac{\pi}{2}\).

Pha ban đầu là \(\phi_0 = -\frac{2\pi}{3}\).

Pha khi ở VTCB lần đầu tiên sau t=0 là \(\phi_1 = -\frac{\pi}{2}\). Thời gian tương ứng là \(\Delta t_1 = \frac{\phi_1 – \phi_0}{\omega} = \frac{-\frac{\pi}{2} – (-\frac{2\pi}{3})}{\frac{4\pi}{3}} = \frac{\frac{-3\pi + 4\pi}{6}}{\frac{4\pi}{3}} = \frac{\frac{\pi}{6}}{\frac{4\pi}{3}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{3}{4\pi} = \frac{1}{8}\) s.

Khi vật ở li độ x = 7, cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = \(\frac{7}{10}\). Gọi pha tương ứng là \(\phi_2 = \pm \alpha\), với \(\alpha = \arccos(\frac{7}{10})\).

Từ VTCB (pha -\(\frac{\pi}{2}\)) đến vị trí x = 7 theo chiều dương (pha \(\alpha\)), khoảng thời gian là:

\(\Delta t_2 = \frac{\alpha – (-\frac{\pi}{2})}{\omega} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{2}}{\frac{4\pi}{3}} = \frac{3(\alpha + \frac{\pi}{2})}{4\pi} = \frac{3\alpha}{4\pi} + \frac{3}{8}\).

Vậy khoảng thời gian ngắn nhất từ VTCB đến x=7 là \(\Delta t_2 – \Delta t_1 = (\frac{3\alpha}{4\pi} + \frac{3}{8}) – \frac{1}{8} = \frac{3\alpha}{4\pi} + \frac{2}{8} = \frac{3\alpha}{4\pi} + \frac{1}{4}\).

Chú ý: Cách xác định pha ban đầu để ở VTCB là quan trọng. Khi pha là \(\frac{\pi}{2}\) hoặc -\(\frac{\pi}{2}\) thì vật ở VTCB.

Khoảng thời gian từ VTCB đến x=7. Ta xét pha. VTCB ứng với pha \(\frac{\pi}{2}\) hoặc -\(\frac{\pi}{2}\). Li độ x=7 ứng với pha \(\alpha\) hoặc -\(\alpha\) với \(\alpha = \arccos(0.7)\).

Để ngắn nhất, ta chọn pha ban đầu là -\(\frac{\pi}{2}\) (đi theo chiều dương từ VTCB). Khoảng thời gian để đi từ pha -\(\frac{\pi}{2}\) đến pha \(\alpha\) là: \(\Delta t = \frac{\alpha – (-\frac{\pi}{2})}{\omega} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{2}}{\frac{4\pi}{3}}\).

Kết quả a: \(\Delta\)t = \(\frac{3(\arccos(0.7) + \frac{\pi}{2})}{4\pi}\) s.

—

b) Từ vị trí biên âm đến vị trí có li độ x = 3

Vị trí biên âm là x = -A = -10 cm.

Chúng ta cần tìm thời điểm t3 khi vật ở biên âm và thời điểm t4 khi vật có li độ x = 3 cm.

Khi vật ở biên âm, x = -10. Ta có:

10cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = -10

cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = -1

\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\) = \(\pi\) + 2m\(\pi\) (với m là số nguyên)

\(\frac{4\pi}{3}\)t = \(\frac{5\pi}{3}\) + 2m\(\pi\)

t = \(\frac{5}{4} + \frac{3m}{2}\) (s)

Để có thời điểm đầu tiên sau t=0, ta chọn m = 0, t3 = \(\frac{5}{4}\) s.

Khi vật có li độ x = 3 cm, ta có:

10cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = 3

cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = \(\frac{3}{10}\)

Gọi \(\beta\) = arccos(\(\frac{3}{10}\)).

Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\) = \(\beta\) + 2n\(\pi\)

t = \(\frac{3\beta}{4\pi} + \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}\)

Trường hợp 2: \(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\) = -\(\beta\) + 2n\(\pi\)

t = -\(\frac{3\beta}{4\pi} + \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}\)

Từ biên âm (pha \(\pi\)) đến vị trí x=3. Nếu vật đi theo chiều dương, pha sẽ tăng dần từ \(\pi\) đến \(\beta\) (vì \(\beta\) là một góc dương nhỏ hơn \(\pi\)).

Để tìm khoảng thời gian ngắn nhất, ta xét đường tròn lượng giác. Biên âm ứng với pha \(\pi\). Vị trí x=3 ứng với pha \(\beta\) hoặc -\(\beta\).

Từ biên âm (pha \(\pi\)), vật sẽ đến vị trí có pha \(\beta\) nếu đi theo chiều dương. Tuy nhiên, pha \(\beta\) < \(\pi\). Do đó, vật sẽ đi qua điểm có pha -\(\beta\) (nếu \(\beta\) là góc dương) trước. Để đơn giản, ta có thể xem xét pha dao động.

Pha tại biên âm là \(\pi\) (hoặc -\(\pi\)). Ta chọn pha là \(\pi\).

Pha tại x = 3 là \(\pm \beta\) với \(\beta = \arccos(0.3)\). Để thời gian ngắn nhất, ta chọn pha \(\beta\) (nếu \(\beta\) là góc dương).

Khoảng thời gian để đi từ pha \(\pi\) đến pha \(\beta\) (đi theo chiều dương) không hợp lý vì \(\beta\) nhỏ hơn \(\pi\).

Ta xét pha tại thời điểm t3 = \(\frac{5}{4}\) là \(\frac{4\pi}{3} \cdot \frac{5}{4} – \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} – \frac{2\pi}{3} = \pi\).

Pha tại vị trí x = 3 là \(\pm \beta\). Chúng ta cần tìm thời điểm tiếp theo mà pha là \(\beta\) hoặc -\(\beta\).

Để ngắn nhất từ pha \(\pi\), ta chọn pha tiếp theo là \(\beta\). Tuy nhiên, \(\beta\) < \(\pi\). Nên ta sẽ đi theo hướng ngược lại. Tuy nhiên, bài toán yêu cầu "từ vị trí biên âm đến vị trí có li độ x=3". Điều này ngụ ý một hướng đi.

Nếu ta xét pha tăng dần, từ \(\pi\), pha sẽ đến \(2\pi\) rồi lặp lại. Điểm có pha \(\beta\) sẽ xảy ra sau khi pha vượt qua \(\pi\).

Cách tiếp cận dễ hơn là xem xét góc quay trên đường tròn lượng giác.

Biên âm ứng với góc \(\pi\). Vị trí x = 3 ứng với góc \(\beta = \arccos(0.3)\).

Từ biên âm (pha \(\pi\)) đến vị trí x = 3, chúng ta có hai lựa chọn về pha: \(\beta\) hoặc \(2\pi – \beta\).

Để khoảng thời gian ngắn nhất, ta xem xét góc quay nhỏ nhất. Từ pha \(\pi\), chúng ta có thể đi đến pha \(\beta\). Tuy nhiên, \(\beta\) là một góc dương nhỏ hơn \(\pi\). Nếu vật đi theo chiều dương, pha sẽ tăng.

Khoảng thời gian từ biên âm (pha \(\pi\)) đến vị trí x = 3. Ta cần xác định pha của x=3. \(\cos(\phi) = 0.3\). Vậy \(\phi = \pm \beta\).

Từ pha \(\pi\), để đến pha \(\beta\) (nếu vật đi theo chiều dương), ta cần đi qua \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\), \(2\pi\), … rồi mới đến \(\beta\) ở chu kỳ sau. Góc quay là \(2\pi – \pi + \beta = \pi + \beta\).

Nếu vật đi theo chiều âm, pha sẽ giảm. Từ pha \(\pi\), có thể đến pha \(\beta\) nếu \(\beta < \pi\). Nhưng \(\beta\) là giá trị dương.

Ta có thể xét từ pha \(\pi\), đi theo chiều nào để đến vị trí có cos(\(\phi\)) = 0.3.

Nếu vật đi theo chiều dương, pha tăng. Pha tiếp theo có cos(\(\phi\)) = 0.3 là khi \(\phi = \beta\) (tức là \(\beta\) là góc nằm trong đoạn [0, \(\pi\)]). Góc quay là \(\beta – \pi\). Nếu \(\beta < \pi\), thì góc này âm, không hợp lý.

Ta cần chọn pha sao cho thời gian ngắn nhất. Từ pha \(\pi\), có thể đến pha \(\beta\) (theo chiều dương) hoặc pha -\(\beta\) (đi theo chiều âm).

Ta xét các giá trị pha tương ứng với x = 3: \(\beta\) và \(2\pi – \beta\).

Từ biên âm (pha \(\pi\)), để đến vị trí x=3 ngắn nhất, ta có thể đi đến pha \(\beta\) (nếu vật đi theo chiều dương và pha tăng dần từ \(\pi\) tới \(\beta\) ở chu kỳ tiếp theo) hoặc pha \(-\beta\).

Nếu xét pha tăng dần, từ \(\pi\) thì pha tiếp theo có cos bằng 0.3 là \(\beta\) (tức là \(\beta\) ở chu kỳ sau). Khoảng góc quay là \((2\pi + \beta) – \pi = \pi + \beta\).

Nếu xét pha giảm dần, từ \(\pi\), pha tiếp theo có cos bằng 0.3 là -\(\beta\). Khoảng góc quay là \(\pi – (-\beta) = \pi + \beta\).

Tuy nhiên, chúng ta cần tìm khoảng thời gian ngắn nhất.

Từ biên âm (pha \(\pi\)) đến vị trí có li độ x = 3. Ta sử dụng \(\beta = \arccos(0.3)\).

Thời gian để đi từ pha \(\pi\) đến pha \(\beta\) là \(\Delta t = \frac{|\beta – \pi|}{\omega}\). Tuy nhiên, \(\beta\) có thể là góc âm. Ta có thể dùng \(\beta\) là góc dương.

Khoảng thời gian ngắn nhất từ biên âm (pha \(\pi\)) đến vị trí x = 3. Ta có thể đi theo chiều dương hoặc chiều âm.

Nếu đi theo chiều dương, pha tăng. Từ \(\pi\), pha tiếp theo có cos(\(\phi\)) = 0.3 là \(\beta\) (nằm trong [0, \(\pi\)]). Tuy nhiên, vật đang ở \(\pi\). Để đến \(\beta\) theo chiều dương, ta phải đi qua \(2\pi\), tức là góc quay là \((2\pi + \beta) – \pi = \pi + \beta\).

Nếu đi theo chiều âm, pha giảm. Từ \(\pi\), ta có thể đến pha -\(\beta\). Khoảng góc quay là \(\pi – (-\beta) = \pi + \beta\).

Hãy xem xét lại đường tròn lượng giác. Biên âm ở góc \(\pi\). Vị trí x=3 có 2 pha là \(\beta\) và \(-\beta\).

Từ \(\pi\) đến \(\beta\), góc quay là \(\pi – \beta\).

Từ \(\pi\) đến \(-\beta\), góc quay là \(\pi + \beta\).

Khoảng thời gian ngắn nhất là khi góc quay nhỏ nhất. Vậy ta chọn góc quay là \(\pi – \beta\).

Kết quả b: \(\Delta\)t = \(\frac{\pi – \arccos(0.3)}{\frac{4\pi}{3}} = \frac{3(\pi – \arccos(0.3))}{4\pi}\) s.

—

c) Từ vị trí có li độ x = 5 đi theo chiều âm đến vị trí có li độ x = -2 theo chiều dương.

Tìm pha tương ứng với x = 5.

10cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = 5

cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = \(\frac{1}{2}\)

Gọi \(\gamma_1 = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}\).

Pha có thể là \(\frac{\pi}{3}\) hoặc -\(\frac{\pi}{3}\).

Chúng ta cần xác định pha nào tương ứng với chiều âm. Khi cos(\(\phi\)) = 1/2, pha có thể là \(\frac{\pi}{3}\) hoặc \(-\frac{\pi}{3}\). Nếu pha là \(\frac{\pi}{3}\), cos(\(\frac{\pi}{3}\)) = 1/2. Đạo hàm của cos là -sin. sin(\(\frac{\pi}{3}\)) > 0, nên vật đi theo chiều âm.

Vậy, pha ban đầu (tại x=5, chiều âm) là \(\phi_a = \frac{\pi}{3}\).

Tìm pha tương ứng với x = -2.

10cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = -2

cos(\(\frac{4\pi}{3}\)t – \(\frac{2\pi}{3}\)) = -\(\frac{2}{10}\) = -\(\frac{1}{5}\)

Gọi \(\gamma_2 = \arccos(-\frac{1}{5})\).

Chúng ta cần xác định pha nào tương ứng với chiều dương. Khi cos(\(\phi\)) = -1/5, pha có thể là \(\gamma_2\) hoặc \(-\gamma_2\). \(\gamma_2\) là một góc nằm trong (\(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\)). sin(\(\gamma_2\)) > 0, nên vật đi theo chiều âm.

Pha \(-\gamma_2\) (tức là \(2\pi – \gamma_2\)) sẽ có sin dương, vậy vật đi theo chiều dương.

Vậy, pha cuối (tại x=-2, chiều dương) là \(\phi_b = -\gamma_2 = -\arccos(-\frac{1}{5})\) (hoặc \(2\pi – \arccos(-\frac{1}{5})\)).

Khoảng thời gian ngắn nhất từ pha \(\phi_a = \frac{\pi}{3}\) đến pha \(\phi_b = -\arccos(-\frac{1}{5})\).

\(\Delta\)t = \(\frac{|\phi_b – \phi_a|}{\omega}\)

\(\Delta\)t = \(\frac{|-\arccos(-\frac{1}{5}) – \frac{\pi}{3}|}{\frac{4\pi}{3}}\)

Do ta cần khoảng thời gian ngắn nhất, ta chọn pha \(\phi_b\) sao cho khoảng cách pha là nhỏ nhất.

Nếu pha đầu là \(\frac{\pi}{3}\), pha cuối có thể là \(\pm \arccos(-\frac{1}{5})\). Ta cần đi đến vị trí có li độ -2 theo chiều dương.

Khi pha là \(\arccos(-\frac{1}{5})\), cos(\(\phi\)) = -1/5, sin(\(\phi\)) > 0 (vật đi theo chiều âm).

Khi pha là \(-\arccos(-\frac{1}{5})\), cos(\(\phi\)) = -1/5, sin(\(\phi\)) < 0 (vật đi theo chiều dương). Nhưng đây không phải là pha theo chiều dương.

Lưu ý: \(\arccos(x)\) trả về giá trị trong [0, \(\pi\)].

Khi cos(\(\phi\)) = -1/5, pha có thể là \(\phi_1 = \arccos(-\frac{1}{5})\) hoặc \(\phi_2 = -\arccos(-\frac{1}{5})\) (hoặc \(2\pi – \arccos(-\frac{1}{5})\)).

Nếu \(\phi = \arccos(-\frac{1}{5})\) thì sin(\(\phi\)) > 0, vật đi theo chiều âm.

Nếu \(\phi = -\arccos(-\frac{1}{5})\) thì sin(\(\phi\)) < 0, vật đi theo chiều dương.

Vậy pha cuối là \(\phi_b = -\arccos(-\frac{1}{5})\).

Pha đầu là \(\phi_a = \frac{\pi}{3}\).

Ta cần tìm khoảng thời gian ngắn nhất từ pha \(\frac{\pi}{3}\) đến pha \(-\arccos(-\frac{1}{5})\).

Khoảng cách pha là \(\Delta \phi = |(-\arccos(-\frac{1}{5})) – \frac{\pi}{3}|\).

Ta cần chọn pha \(-\arccos(-\frac{1}{5})\) sao cho nó gần \(\frac{\pi}{3}\) nhất.

Ta có thể thêm hoặc bớt bội số của \(2\pi\) vào pha cuối.

Pha đầu \(\phi_a = \frac{\pi}{3}\).

Pha cuối có thể là \(-\arccos(-\frac{1}{5})\) hoặc \(2\pi – \arccos(-\frac{1}{5})\).

Ta chọn pha cuối gần \(\frac{\pi}{3}\) nhất.

Giá trị \(\arccos(-\frac{1}{5})\) nằm trong khoảng (\(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\)).

Vậy \(-\arccos(-\frac{1}{5})\) nằm trong khoảng (-\(\pi\), -\(\frac{\pi}{2}\)).

Khoảng cách từ \(\frac{\pi}{3}\) đến \(-\arccos(-\frac{1}{5})\) là \(|\frac{\pi}{3} – (-\arccos(-\frac{1}{5}))| = \frac{\pi}{3} + \arccos(-\frac{1}{5})\).

Khoảng cách từ \(\frac{\pi}{3}\) đến \(2\pi – \arccos(-\frac{1}{5})\) là \(|2\pi – \arccos(-\frac{1}{5}) – \frac{\pi}{3}| = | \frac{5\pi}{3} – \arccos(-\frac{1}{5}) |\). Vì \(\arccos(-\frac{1}{5}) < \pi\), nên \( \frac{5\pi}{3} - \arccos(-\frac{1}{5}) > 0\). Khoảng cách này lớn hơn.

Vậy, khoảng thời gian ngắn nhất là:

\(\Delta\)t = \(\frac{\frac{\pi}{3} + \arccos(-\frac{1}{5})}{\frac{4\pi}{3}}\) = \(\frac{3(\frac{\pi}{3} + \arccos(-\frac{1}{5}))}{4\pi}\) = \(\frac{\pi + 3\arccos(-\frac{1}{5})}{4\pi}\) s.

Kết quả c: \(\Delta\)t = \(\frac{\pi + 3\arccos(-0.2)}{4\pi}\) s.

Các em về nhà ôn tập lại cách xác định pha và sử dụng đường tròn lượng giác để giải các bài toán dao động điều hòa nhé.