Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về dao động điều hòa rất thú vị.

Đề bài: Một vật dao động điều hoà theo phương trình

x = 6cos(20xt) (cm).

Thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến vị trí có li độ 3 cm theo chiều âm là bao nhiêu?

Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích kỹ phương trình dao động và các yêu cầu của đề bài.

Phân tích phương trình dao động:

Phương trình dao động điều hòa có dạng tổng quát là

x = Acos(ωt + φ)

hoặc

x = Asin(ωt + φ)

.

Trong đề bài, chúng ta có phương trình

x = 6cos(20xt) (cm)

.

So sánh với dạng tổng quát, chúng ta xác định được:

• Biên độ dao động (A): A = 6 cm. Đây là độ dời lớn nhất của vật so với vị trí cân bằng.
• Tần số góc (ω): ω = 20x rad/s.
• Pha ban đầu (φ): Vì phương trình có dạng

  x = Acos(ωt)

  , nên pha ban đầu

  φ = 0

  .

Xác định vị trí ban đầu và vị trí cần đến:

Đề bài yêu cầu tìm thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến vị trí có li độ 3 cm theo chiều âm.

• Vị trí ban đầu (t = 0): Tại thời điểm t = 0, li độ của vật là

  x(0) = 6cos(20x * 0) = 6cos(0) = 6 cm

  .

• Tuy nhiên, đề bài yêu cầu đi từ VTCB. VTCB tương ứng với li độ x = 0. Chúng ta cần xem xét lại thời điểm bắt đầu quá trình dao động hoặc thời điểm mà vật ở VTCB.

Lưu ý quan trọng: Đề bài nói “thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB…”. Điều này có nghĩa là chúng ta không nhất thiết phải bắt đầu tính thời gian từ t=0 của phương trình. Chúng ta sẽ tìm một thời điểm mà vật ở VTCB và sau đó tính thời gian ngắn nhất để nó đến vị trí 3 cm theo chiều âm.

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác:

Để dễ hình dung, chúng ta có thể biểu diễn chuyển động của vật trên đường tròn lượng giác.

Một chu kỳ dao động ứng với một vòng quay của điểm biểu diễn trên đường tròn. Góc quét trong một chu kỳ là

2π

radian.

Vị trí VTCB:

VTCB tương ứng với li độ x = 0. Trên đường tròn, vị trí này tương ứng với các góc

π/2

và

3π/2

(hoặc

-π/2

).

Vị trí li độ 3 cm theo chiều âm:

Chúng ta cần tìm góc

θ

sao cho

x = 6cos(θ) = 3

. Điều này cho ta

cos(θ) = 3/6 = 1/2

.

Các góc có

cos(θ) = 1/2

là

θ = ± π/3 + 2kπ

, với k là số nguyên.

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu “theo chiều âm”. Chiều âm của li độ x là khi vật di chuyển từ phía dương sang phía âm, hoặc đang ở phía âm và tiếp tục đi về phía âm hơn nữa.

Bây giờ, chúng ta xem xét hai trường hợp khi vật ở VTCB và bắt đầu đi:

Trường hợp 1: Vật ở VTCB và đi theo chiều dương.

Khi vật ở VTCB và đi theo chiều dương, pha của nó sẽ tăng lên. Trên đường tròn, điều này ứng với việc điểm biểu diễn quay theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).

VTCB theo chiều dương ứng với pha

π/2

(nếu ta xét pha theo thời gian t).

Từ pha

π/2

, vật đi đến vị trí có li độ

x = 3 cm

. Ta có

6cos(ωt + φ) = 3

, với

ωt + φ

là pha tại thời điểm đó.

Vì vật đi theo chiều dương, chúng ta sẽ xét các góc có giá trị

cos(θ) = 1/2

mà pha tăng dần từ

π/2

.

Các góc thỏa mãn

cos(θ) = 1/2

là

θ = π/3 + 2kπ

và

θ = -π/3 + 2kπ

.

Nếu ta bắt đầu từ VTCB theo chiều dương (pha

π/2

), chúng ta cần tìm pha

θ

sao cho

x = 3

và

θ > π/2

.

Xét

θ = π/3

. Giá trị này nhỏ hơn

π/2

, nên không phải là hướng đi theo chiều dương từ VTCB.

Xét

θ = -π/3 + 2π = 5π/3

. Giá trị này lớn hơn

π/2

. Tại

θ = 5π/3

,

cos(5π/3) = 1/2

, nên

x = 6 * (1/2) = 3 cm

. Tuy nhiên,

5π/3

gần với

2π

hơn, nên khi quay từ

π/2

đến

5π/3

, vật đã đi qua VTCB theo chiều âm một lần rồi.

Chúng ta cần xem xét lại điểm bắt đầu từ VTCB.

Xét lại bài toán: Thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến vị trí có li độ 3 cm theo chiều âm.

Bước 1: Xác định pha của VTCB và vị trí 3 cm theo chiều âm.

Tại VTCB (x=0), pha là

ωt + φ = π/2

hoặc

ωt + φ = 3π/2

.

Tại vị trí

x = 3 cm

, ta có

6cos(θ) = 3

, suy ra

cos(θ) = 1/2

. Các giá trị của

θ

là

± π/3 + 2kπ

.

Bước 2: Vẽ đường tròn lượng giác và xác định các vị trí.

Trên đường tròn, VTCB tương ứng với các điểm trên trục tung.

Vị trí

x = 3 cm

tương ứng với các điểm trên đường tròn mà hình chiếu lên trục Ox có tọa độ là 3.

Các góc có

cos(θ) = 1/2

là

π/3

và

-π/3

.

Góc

π/3

tương ứng với

x = 6 cos(π/3) = 6 (1/2) = 3 cm

. Tại góc

π/3

, vật đang đi theo chiều âm (vì đang giảm dần từ giá trị dương).

Góc

-π/3

(hay

5π/3

) tương ứng với

x = 6 cos(-π/3) = 6 (1/2) = 3 cm

. Tại góc

-π/3

, vật đang đi theo chiều dương (vì đang tăng dần từ giá trị âm).

Đề bài yêu cầu “li độ 3 cm theo chiều âm”. Điều này có nghĩa là chúng ta tìm vị trí

x=3

và tại đó vật đang di chuyển theo chiều âm.

Khi

x = 3 cm

, chúng ta có hai khả năng về pha:

θ = π/3

hoặc

θ = -π/3 (tức 5π/3)

.

Ta cần xác định chiều chuyển động tại các góc này. Dựa vào đạo hàm của x theo t:

v = dx/dt = -6ωsin(ωt)

. Vận tốc âm nghĩa là chuyển động theo chiều âm.

Tại

θ = π/3

,

sin(π/3) = sqrt(3)/2

. Nếu

ω > 0

, thì

v = -6ω * (sqrt(3)/2) < 0

. Vậy tại

θ = π/3

, vật đi theo chiều âm.

Tại

θ = -π/3

,

sin(-π/3) = -sqrt(3)/2

. Nếu

ω > 0

, thì

v = -6ω * (-sqrt(3)/2) > 0

. Vậy tại

θ = -π/3

, vật đi theo chiều dương.

Do đó, vị trí “li độ 3 cm theo chiều âm” trên đường tròn tương ứng với góc

π/3

.

Bước 3: Tính thời gian ngắn nhất từ VTCB đến vị trí góc π/3.

Chúng ta cần tìm thời gian ngắn nhất để vật đi từ VTCB đến vị trí ứng với góc

π/3

.

Tại VTCB, pha có thể là

π/2

hoặc

3π/2

.

Để đi từ VTCB đến vị trí góc

π/3

trong thời gian ngắn nhất, chúng ta cần chọn điểm xuất phát ở VTCB sao cho góc quay tới

π/3

là nhỏ nhất.

Nếu xuất phát tại pha

π/2

(VTCB đi theo chiều dương), để đến

π/3

, góc quét là

|π/3 – π/2| = |-π/6| = π/6

. Tuy nhiên, cần xét hướng quay. Nếu quay từ

π/2

đến

π/3

, góc quay là

π/3 – π/2 = -π/6

, tức là quay theo chiều âm. Tuy nhiên, ta cần đi từ VTCB đến vị trí

x=3

(góc

π/3

) theo chiều âm.

Xem xét lại: Chúng ta cần đi từ VTCB (x=0) đến

x=3

(theo chiều âm). Trên đường tròn, VTCB là các điểm trên trục tung. Vị trí

x=3

theo chiều âm là điểm ứng với góc

π/3

.

Khả năng xuất phát từ VTCB:

• VTCB ở pha

  π/2

  (đi theo chiều dương).

• VTCB ở pha

  3π/2

  (đi theo chiều âm).

Trường hợp 1: Xuất phát từ VTCB ở pha

π/2

.

Để đến vị trí góc

π/3

(x=3 theo chiều âm), chúng ta cần quay một góc là

π/2 – π/3 = π/6

. Tuy nhiên, từ pha

π/2

mà quay về

π/3

là quay theo chiều âm.

Nếu ta xuất phát tại

t=0

với pha

φ=0

, thì

x=6

. Để đến VTCB (

x=0

), vật cần đi một góc

π/2

. Thời gian là

T/4

.

Bây giờ, chúng ta cần đi từ VTCB đến

x=3

theo chiều âm.

Cách làm hiệu quả nhất:

1. Xác định pha tại VTCB và tại vị trí 3 cm theo chiều âm.

VTCB ứng với

x = 0

. Trên đường tròn, điều này tương ứng với các góc

π/2

và

3π/2

.

Vị trí

x = 3 cm

ứng với

6cos(θ) = 3

, suy ra

cos(θ) = 1/2

. Các góc là

π/3

và

-π/3

(hay

5π/3

).

Ta đã xác định vị trí “3 cm theo chiều âm” là góc

π/3

.

2. Tìm thời gian ngắn nhất từ VTCB đến góc

π/3

.

Chúng ta có hai lựa chọn cho pha tại VTCB:

Lựa chọn A: Bắt đầu từ VTCB tại pha

π/2

(vật đang chuyển động theo chiều dương).

Để đến pha

π/3

, góc quay là

π/2 – π/3 = π/6

. Thời gian tương ứng là

Δt = (π/6) / ω

.

Lựa chọn B: Bắt đầu từ VTCB tại pha

3π/2

(vật đang chuyển động theo chiều âm).

Để đến pha

π/3

, góc quay là

2π + π/3 – 3π/2 = 11π/6 – 9π/6 = 2π/6 = π/3

. Tuy nhiên, đây là quay theo chiều dương. Nếu quay theo chiều âm từ

3π/2

đến

π/3

, ta cần quay

3π/2 – π/3 = 9π/6 – 2π/6 = 7π/6

. Nhưng ta cần thời gian ngắn nhất.

Hãy suy nghĩ theo hướng nào là ngắn nhất.

VTCB ở

x=0

. Vị trí

x=3

theo chiều âm là góc

π/3

.

Trên đường tròn:

VTCB ở vị trí

(0, 1)

(tương ứng pha

π/2

) và

(0, -1)

(tương ứng pha

3π/2

).

Vị trí

x=3

theo chiều âm là điểm có tọa độ

(3, -y)

sao cho

cos(θ) = 1/2

. Đó là góc

π/3

.

Chúng ta cần đi từ VTCB đến góc

π/3

.

Quan trọng: “Đi từ VTCB đến vị trí có li độ 3 cm theo chiều âm”. Điều này có nghĩa là chúng ta phải xuất phát tại một thời điểm mà vật ở VTCB và sau đó đi đến vị trí 3 cm theo chiều âm. Để “thời gian ngắn nhất”, chúng ta sẽ chọn cách di chuyển có góc quay nhỏ nhất.

Xem xét VTCB là điểm xuất phát.

Có hai trường hợp xuất phát từ VTCB:

• VTCB ở pha

  π/2

  (đi theo chiều dương).

• VTCB ở pha

  3π/2

  (đi theo chiều âm).

Vị trí cần đến là góc

π/3

(x=3 theo chiều âm).

Trường hợp 1: Xuất phát từ VTCB ở pha

π/2

.

Để đến pha

π/3

, vật cần quay một góc là

π/2 – π/3 = π/6

. Thời gian tương ứng là

Δt = (π/6) / ω

. Tuy nhiên, tại pha

π/2

, vật đi theo chiều dương. Để đến

π/3

là đi ngược lại.

Trường hợp 2: Xuất phát từ VTCB ở pha

3π/2

.

Tại pha

3π/2

, vật đang đi theo chiều âm. Để đến pha

π/3

, chúng ta cần quay một góc là

2π + π/3 – 3π/2 = 11π/6 – 9π/6 = 2π/6 = π/3

(nếu quay theo chiều dương). Nhưng ta đang xét đi theo chiều âm.

Nếu quay theo chiều âm từ

3π/2

đến

π/3

, góc quay là

3π/2 – π/3 = 9π/6 – 2π/6 = 7π/6

.

Cách hình dung đơn giản nhất:

VTCB là gốc tọa độ trên trục x. Chúng ta cần đi từ x=0 đến x=3 theo chiều âm. Nghĩa là đi từ 0 đến -3, hoặc từ 0 đến vị trí nào đó mà li độ bằng 3 và đang giảm.

Trên đường tròn, VTCB là các điểm trên trục tung. Vị trí x=3 theo chiều âm là góc

π/3

.

Chúng ta cần đi từ một trong hai điểm VTCB (pha

π/2

hoặc

3π/2

) đến điểm ứng với góc

π/3

.

Khoảng cách góc ngắn nhất từ một trong hai điểm VTCB đến góc

π/3

.

Khoảng cách góc từ

π/2

đến

π/3

là

|π/2 – π/3| = π/6

.

Khoảng cách góc từ

3π/2

đến

π/3

là

|3π/2 – π/3| = |9π/6 – 2π/6| = 7π/6

.

Khoảng cách góc ngắn nhất là

π/6

.

Thời gian tương ứng là

Δt = (Góc quét) / ω

.

Góc quét là

π/6

.

Tần số góc

ω = 20x

rad/s.

Vậy thời gian ngắn nhất là

Δt = (π/6) / (20x) = π / (120x)

giây.

Kiểm tra lại:

Nếu ta xuất phát từ VTCB ở pha

π/2

(tức là

x = 6cos(ωt + π/2) = -6sin(ωt)

. Tại VTCB,

ωt + π/2

là

π/2

hoặc

3π/2

. Nếu

ωt=0

,

x=0

. Vậy ta có thể bắt đầu từ

t=0

với

x = 6cos(20xt)

.

Cách tiếp cận chuẩn nhất:

1. Xác định vị trí cần đến: li độ 3 cm theo chiều âm.

Trên đường tròn, vị trí này tương ứng với góc

π/3

.

2. Xác định VTCB:

VTCB có thể ở pha

π/2

hoặc

3π/2

.

3. Tính thời gian ngắn nhất từ VTCB đến vị trí góc

π/3

.

Chúng ta cần tìm thời gian ngắn nhất để quay từ một trong hai điểm VTCB đến điểm có góc

π/3

.

Trên đường tròn, VTCB nằm trên trục tung. Điểm cần đến là ứng với góc

π/3

.

Khoảng cách góc từ VTCB trên trục tung dương (pha

π/2

) đến

π/3

là

π/2 – π/3 = π/6

.

Khoảng cách góc từ VTCB trên trục tung âm (pha

3π/2

) đến

π/3

là

3π/2 – π/3 = 7π/6

(nếu quay theo chiều âm).

Thời gian ngắn nhất ứng với góc quét nhỏ nhất là

π/6

.

4. Tính thời gian:

Góc quét

Δφ = π/6

.

Tần số góc

ω = 20x

rad/s.

Thời gian

Δt = Δφ / ω = (π/6) / (20x) = π / (120x)

giây.

Đáp án cuối cùng:

Thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến vị trí có li độ 3 cm theo chiều âm là

\(\frac{\pi}{120x}\) (s).