Chào em! Với vai trò là giáo viên Vật lý lớp 11, thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết bài tập này. Đây là một dạng bài khá thú vị về dao động điều hòa.

1. Phân tích đề bài và tóm tắt các đại lượng đã cho:

• Một vật dao động điều hòa theo trục Ox quanh vị trí cân bằng O.
• Chu kì dao động: \(T = 1s\)
• Biên độ dao động: \(A = 4cm\)
• Khoảng thời gian cần xét: \(\Delta t = \frac{1}{8}s\)

Yêu cầu: Tính tốc độ trung bình lớn nhất mà vật dao động được trong khoảng thời gian \(\Delta t = \frac{1}{8}s\).

2. Cơ sở lý thuyết:

Tốc độ trung bình được tính bằng công thức: \(v_{tb} = \frac{\text{Tổng quãng đường đi được}}{\text{Khoảng thời gian}}\)

Để tốc độ trung bình là lớn nhất (\(v_{tb_{max}}\)), thì trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) cho trước, quãng đường đi được (\(S\)) phải là lớn nhất (\(S_{max}\)).

Trong dao động điều hòa, vật chuyển động nhanh nhất khi đi qua vị trí cân bằng (vận tốc cực đại \(v_{max} = \omega A\)) và chậm nhất khi ở hai biên (vận tốc bằng 0). Do đó, để quãng đường đi được trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) là lớn nhất, vật phải dao động tập trung quanh vị trí cân bằng O.

3. Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Tính tần số góc (\(\omega\)) của dao động.

Công thức liên hệ giữa tần số góc và chu kì là: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

Thay số vào, ta có: \(\omega = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ rad/s}\)

Bước 2: Xác định góc quét tương ứng với khoảng thời gian \(\Delta t\).

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), con lắc quét được một góc là: \(\Delta\varphi = \omega \Delta t\)

Thay số vào, ta có: \(\Delta\varphi = 2\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\)

Bước 3: Tìm quãng đường lớn nhất (\(S_{max}\)) trong khoảng thời gian \(\Delta t\).

Để quãng đường đi được là lớn nhất trong thời gian \(\Delta t\), vật phải dao động đối xứng qua vị trí cân bằng O. Tức là, vị trí ban đầu và vị trí cuối cùng của vật phải đối xứng nhau qua O, và vật đi qua O đúng giữa khoảng thời gian \(\Delta t\).

Nếu ta biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác, khoảng thời gian \(\Delta t\) tương ứng với một cung tròn có góc \(\Delta\varphi = \frac{\pi}{4}\). Để quãng đường là lớn nhất, cung này phải đối xứng qua trục tung (trục sin, tương ứng với \(x=0\)).

Như vậy, góc pha ban đầu của vật là \(\varphi_1 = \frac{\pi}{2} – \frac{\Delta\varphi}{2}\) và góc pha cuối cùng là \(\varphi_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\Delta\varphi}{2}\).

• \(\varphi_1 = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi – \pi}{8} = \frac{3\pi}{8}\)
• \(\varphi_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi + \pi}{8} = \frac{5\pi}{8}\)

Vị trí ban đầu của vật là: \(x_1 = A \cos(\varphi_1) = A \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\)

Vị trí cuối cùng của vật là: \(x_2 = A \cos(\varphi_2) = A \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)\)

Ta có \(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \cos\left(\pi – \frac{3\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\).

Do đó, \(x_1 = A \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\) và \(x_2 = -A \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\).

Trong khoảng thời gian này, vật đi từ \(x_1\) qua O đến \(x_2\). Quãng đường đi được là:

\(S_{max} = |x_1 – 0| + |0 – x_2| = |x_1| + |x_2|\)

\(S_{max} = A \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \left|-A \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right| = 2A \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\)

Với \(A = 4cm\), ta có: \(S_{max} = 2 \cdot 4 \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = 8 \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \text{ cm}\)

Giá trị của \(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\) có thể tính bằng máy tính hoặc công thức: \(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(3\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1-\sqrt{2}/2}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

Vậy \(S_{max} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \text{ cm}\)

Nếu dùng giá trị xấp xỉ: \(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \approx 0.38268\)

\(S_{max} = 8 \cdot 0.38268 \approx 3.06144 \text{ cm}\)

Bước 4: Tính tốc độ trung bình lớn nhất.

\(v_{tb_{max}} = \frac{S_{max}}{\Delta t}\)

Thay các giá trị đã tìm được vào: \(v_{tb_{max}} = \frac{8 \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)}{\frac{1}{8}} = 64 \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \text{ cm/s}\)

Hoặc theo giá trị chính xác:

\(v_{tb_{max}} = 64 \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = 32\sqrt{2-\sqrt{2}} \text{ cm/s}\)

Sử dụng giá trị xấp xỉ:

\(v_{tb_{max}} = 64 \cdot 0.38268 \approx 24.49152 \text{ cm/s}\)

4. Kết luận:

Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật dao động được trong khoảng thời gian \(\frac{1}{8}s\) là khoảng \(\mathbf{24.49 \text{ cm/s}}\) (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!