Một vật dao động điều hòa với biên A. Tại li độ nào thì thế năng bằng 3 lần động…
A. x = ± \(\frac{A}{2}\) B. x = ± \(\frac{A\sqrt{3}}{2}\) C. x = ± \(\frac{A}{3}\) D.x = ± \(\frac{A}{\sqrt{2} }\)
Bài toán cho biết: Một vật dao động điều hòa với biên độ A.
Yêu cầu: Tìm li độ x tại đó thế năng bằng 3 lần động năng.
Đầu tiên, chúng ta cần nhớ lại các công thức liên quan đến động năng và thế năng trong dao động điều hòa.
1. Công thức động năng (K):
Động năng của vật dao động điều hòa được cho bởi công thức:
\( K = \frac{1}{2} m v^2 \)
Trong đó:
- m là khối lượng của vật.
- v là vận tốc tức thời của vật.
Chúng ta cũng biết vận tốc tức thời của vật dao động điều hòa là \( v = -\omega A \sin(\omega t + \phi) \) hoặc \( v = \omega \sqrt{A^2 – x^2} \), với \( \omega \) là tần số góc và x là li độ.
Thay biểu thức của v vào công thức động năng, ta có thể viết động năng theo li độ x như sau:
\( K = \frac{1}{2} m (\omega \sqrt{A^2 – x^2})^2 \)
\( K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 – x^2) \)
Lưu ý rằng \( m \omega^2 \) chính là độ cứng k của hệ lò xo (nếu là con lắc lò xo) hoặc một đại lượng tương đương.
Vậy, động năng có thể viết là: \( K = \frac{1}{2} k (A^2 – x^2) \)
2. Công thức thế năng (W_t):
Thế năng của vật dao động điều hòa được cho bởi công thức:
\( W_t = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \)
Hoặc:
\( W_t = \frac{1}{2} k x^2 \)
3. Tổng cơ năng (W):
Tổng cơ năng của hệ dao động điều hòa là:
\( W = K + W_t \)
Tại biên độ A, vận tốc bằng 0 nên động năng bằng 0, thế năng đạt cực đại \( W_t_{max} = \frac{1}{2} k A^2 \). Do đó, cơ năng cũng bằng:
\( W = \frac{1}{2} k A^2 \)
Bây giờ, chúng ta xét điều kiện của bài toán: Thế năng bằng 3 lần động năng.
\( W_t = 3K \)
Chúng ta có thể giải bài toán này bằng hai cách:
Cách 1: Sử dụng mối quan hệ giữa động năng, thế năng và cơ năng.
Ta có:
\( W_t = 3K \)
Và:
\( W = K + W_t \)
Thay \( W_t = 3K \) vào phương trình cơ năng:
\( W = K + 3K = 4K \)
Từ đó, ta có:
\( K = \frac{W}{4} \)
Mà ta cũng có:
\( W_t = W – K = W – \frac{W}{4} = \frac{3W}{4} \)
Bây giờ chúng ta quay lại công thức thế năng:
\( W_t = \frac{1}{2} k x^2 \)
Và công thức cơ năng:
\( W = \frac{1}{2} k A^2 \)
Thay các biểu thức này vào:
\( \frac{3W}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} k A^2) \)
Ta có:
\( \frac{1}{2} k x^2 = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} k A^2) \)
Rút gọn \( \frac{1}{2} k \) ở cả hai vế, ta được:
\( x^2 = \frac{3}{4} A^2 \)
Lấy căn bậc hai hai vế:
\( x = \pm \sqrt{\frac{3}{4} A^2} \)
\( x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A \)
Cách 2: Sử dụng trực tiếp công thức động năng và thế năng theo li độ.
Điều kiện bài toán là:
\( W_t = 3K \)
Thay biểu thức của \( W_t \) và \( K \) theo li độ x:
\( \frac{1}{2} k x^2 = 3 \left( \frac{1}{2} k (A^2 – x^2) \right) \)
Rút gọn \( \frac{1}{2} k \) ở cả hai vế:
\( x^2 = 3 (A^2 – x^2) \)
Mở ngoặc:
\( x^2 = 3A^2 – 3x^2 \)
Chuyển các số hạng chứa \( x^2 \) sang một vế:
\( x^2 + 3x^2 = 3A^2 \)
\( 4x^2 = 3A^2 \)
Tìm \( x^2 \):
\( x^2 = \frac{3}{4} A^2 \)
Lấy căn bậc hai hai vế:
\( x = \pm \sqrt{\frac{3}{4} A^2} \)
\( x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A \)
Vậy, li độ mà tại đó thế năng bằng 3 lần động năng là \( x = \pm \frac{A\sqrt{3}}{2} \).
So sánh với các đáp án:
A. \( x = \pm \frac{A}{2} \)
B. \( x = \pm \frac{A\sqrt{3}}{2} \)
C. \( x = \pm \frac{A}{3} \)
D. \( x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} \)
Đáp án đúng là B.
Các em thấy đấy, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải nắm vững công thức động năng, thế năng và cách sử dụng mối quan hệ giữa chúng với cơ năng. Các em hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để có thể giải quyết tốt hơn nhé!
Có bạn nào có câu hỏi hay thắc mắc gì không?
\(W_(t)= 3W_(đ)\)
\(<=> 1/2 m . \omega^2 . x^2 = 3 . 1/2 . m . omega^2 . (A^2 – x^2)\)
\(<=> x^2 = 3 . (A^2 – x^2)\)
\(<=> x^2 = 3A^2 -3x^2\)
\(<=> 4x^2 = 3A^2\)
\(<=> x^2 = (3A^2)/4\)
\(<=> x= +- (A\sqrt(3))/2\)
Vậy chọn \(bbB\).
\(W_t=3W_đ\)
\(<=>1/2kx^2=3.(1)/2k(A^2-x^2)\)
\(<=>kx^2=3k(A^2-x^2)\)
\(<=>x^2=3(A^2-x^2)\)
\(<=>x^2=3A^2-3x^2\)
\(<=>4x^2=3A^2\)
\(<=>x^2=3/4A^2\)
\(<=>x=+-(A\sqrt3)/2\)
\(->bbB\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment