Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về dao động điều hòa, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Vật lý lớp 11 của chúng ta. Bài toán này yêu cầu chúng ta xác định thời điểm cụ thể mà vật đạt được một giá trị vận tốc cho trước.

Đề bài: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ là \(x = 8 \cos(2\pi t – \pi/6)\) cm. Hãy xác định thời điểm thứ 22 vật qua vị trí có vận tốc \(v = -8\pi\) cm/s kể từ lúc \(t = 0\).

Phân tích và Giải chi tiết:

1. Xác định các đại lượng từ phương trình li độ:

Phương trình li độ tổng quát của dao động điều hòa là \(x = A \cos(\omega t + \phi)\).

So sánh với phương trình đã cho: \(x = 8 \cos(2\pi t – \pi/6)\) cm,

• Biên độ dao động: \(A = 8\) cm.
• Tần số góc: \(\omega = 2\pi\) rad/s.
• Pha ban đầu: \(\phi = -\pi/6\) rad.

Từ tần số góc, ta có thể tính chu kì dao động:

\(T = 2\pi / \omega = 2\pi / (2\pi) = 1\) s.

2. Viết phương trình vận tốc của vật:

Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: \(v = dx/dt\).

Nếu \(x = A \cos(\omega t + \phi)\), thì \(v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\).

Thay các giá trị \(A\), \(\omega\), \(\phi\) vào, ta được phương trình vận tốc:

\(v = -(8)(2\pi) \sin(2\pi t – \pi/6)\)

\(v = -16\pi \sin(2\pi t – \pi/6)\) cm/s.

3. Thiết lập phương trình để tìm thời điểm vận tốc đạt giá trị yêu cầu:

Theo đề bài, chúng ta cần tìm thời điểm mà \(v = -8\pi\) cm/s.

Ta thay giá trị này vào phương trình vận tốc:

\(-8\pi = -16\pi \sin(2\pi t – \pi/6)\)

Chia cả hai vế cho \(-16\pi\):

\(\sin(2\pi t – \pi/6) = (-8\pi) / (-16\pi)\)

\(\sin(2\pi t – \pi/6) = 1/2\)

4. Giải phương trình lượng giác để tìm \(t\):

Để giải phương trình \(\sin(\alpha) = 1/2\), ta biết rằng có hai họ nghiệm tổng quát:

Họ nghiệm 1: \(\alpha = \pi/6 + 2k\pi\)

Họ nghiệm 2: \(\alpha = \pi – \pi/6 + 2k\pi = 5\pi/6 + 2k\pi\)

Trong đó, \(k\) là số nguyên (\(k = 0, \pm 1, \pm 2, …\)).

Bây giờ, chúng ta thay \(\alpha = 2\pi t – \pi/6\) vào từng họ nghiệm:

Trường hợp 1:

\(2\pi t – \pi/6 = \pi/6 + 2k\pi\)

Chuyển \((-\pi/6)\) sang vế phải:

\(2\pi t = \pi/6 + \pi/6 + 2k\pi\)

\(2\pi t = 2\pi/6 + 2k\pi\)

\(2\pi t = \pi/3 + 2k\pi\)

Chia cả hai vế cho \(2\pi\):

\(t = (\pi/3) / (2\pi) + (2k\pi) / (2\pi)\)

\(t = 1/6 + k\) (với \(k \in \mathbb{Z}\))

Trường hợp 2:

\(2\pi t – \pi/6 = 5\pi/6 + 2k\pi\)

Chuyển \((-\pi/6)\) sang vế phải:

\(2\pi t = 5\pi/6 + \pi/6 + 2k\pi\)

\(2\pi t = 6\pi/6 + 2k\pi\)

\(2\pi t = \pi + 2k\pi\)

Chia cả hai vế cho \(2\pi\):

\(t = \pi / (2\pi) + (2k\pi) / (2\pi)\)

\(t = 1/2 + k\) (với \(k \in \mathbb{Z}\))

5. Liệt kê các thời điểm \(t \ge 0\) và xác định thời điểm thứ 22:

Chúng ta cần tìm các giá trị \(t \ge 0\). Ta bắt đầu với \(k = 0, 1, 2, …\) cho mỗi trường hợp.

Từ Trường hợp 1 (\(t = 1/6 + k\)):

• Với \(k=0\): \(t_1 = 1/6\) s
• Với \(k=1\): \(t_3 = 1 + 1/6 = 7/6\) s
• Với \(k=2\): \(t_5 = 2 + 1/6 = 13/6\) s
• …

Đây là các lần thứ 1, 3, 5, … mà vận tốc có giá trị \(-8\pi\) cm/s.

Từ Trường hợp 2 (\(t = 1/2 + k\)):

• Với \(k=0\): \(t_2 = 1/2\) s
• Với \(k=1\): \(t_4 = 1 + 1/2 = 3/2\) s
• Với \(k=2\): \(t_6 = 2 + 1/2 = 5/2\) s
• …

Đây là các lần thứ 2, 4, 6, … mà vận tốc có giá trị \(-8\pi\) cm/s.

Khi ta sắp xếp các thời điểm này theo thứ tự tăng dần:

\(t_1 = 1/6\) s
\(t_2 = 1/2\) s
\(t_3 = 7/6\) s
\(t_4 = 3/2\) s
\(t_5 = 13/6\) s
\(t_6 = 5/2\) s
…

Ta thấy rằng:

• Các thời điểm lẻ (\(t_1, t_3, t_5, …\)) được xác định bởi công thức \(t = 1/6 + k’\) với \(k’ = (N-1)/2\) khi N là số lẻ.
• Các thời điểm chẵn (\(t_2, t_4, t_6, …\)) được xác định bởi công thức \(t = 1/2 + k’\) với \(k’ = (N/2) – 1\) khi N là số chẵn.

Chúng ta cần tìm thời điểm thứ 22, tức là \(N = 22\). Đây là một số chẵn.

Vậy, ta sẽ sử dụng công thức của Trường hợp 2: \(t = 1/2 + k\).

Giá trị \(k\) tương ứng sẽ là: \(k = (N/2) – 1 = (22/2) – 1 = 11 – 1 = 10\).

Thay \(k = 10\) vào công thức \(t = 1/2 + k\):

\(t_{22} = 1/2 + 10\)

\(t_{22} = 10.5\) s.

Kết luận:

Vậy, thời điểm thứ 22 kể từ lúc \(t = 0\) mà vật qua vị trí có vận tốc \(v = -8\pi\) cm/s là \(\mathbf{t = 10.5}\) s.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách xác định các thời điểm mà vật đạt được một trạng thái vận tốc cụ thể trong dao động điều hòa. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!