Đề bài: Một vật M được buộc vào 1 đầu của 1 lò xo treo thẳng đứng, lò xo có độ cứng bằng 250N/m và có chiều dài tự nhiên bằng 20cm. Khi vật ở vị trí cân bằng, người ta thấy chiều dài của lò xo là 28 cm. Kéo M tới vị trí lò xo bị giãn thêm 4cm nữa rồi thả ra không vận tốc đầu. Cho g=10m/s2.
– Xác định chiều dài ngắn nhất mà lò xo có thể đạt được.
– Xác định vị trí vật có vận tốc cực đại và tính vận tốc cực đại đó.

Chúng ta cùng nhau phân tích đề bài và giải quyết từng yêu cầu một.

Phân tích và Tóm tắt đề bài:
– Độ cứng của lò xo: \(k = 250 \, \text{N/m}\)
– Chiều dài tự nhiên của lò xo: \(l_0 = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}\)
– Chiều dài của lò xo tại vị trí cân bằng: \(l_{CB} = 28 \, \text{cm} = 0.28 \, \text{m}\)
– Kéo vật xuống vị trí lò xo giãn thêm 4cm so với vị trí cân bằng rồi thả không vận tốc đầu. Đây chính là biên độ dao động.
– Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \, \text{m/s}^2\)

Bước 1: Xác định độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng và khối lượng của vật M.

Tại vị trí cân bằng (VTCB), lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực của vật.

Độ biến dạng của lò xo tại VTCB là:
\( \Delta l_0 = l_{CB} – l_0 = 28 \, \text{cm} – 20 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} = 0.08 \, \text{m} \)

Áp dụng điều kiện cân bằng: Lực đàn hồi = Trọng lực
\( F_{đh} = P \)
\( k \cdot \Delta l_0 = m \cdot g \)

Từ đó, ta tính được khối lượng của vật M:
\( m = \frac{k \cdot \Delta l_0}{g} = \frac{250 \, \text{N/m} \cdot 0.08 \, \text{m}}{10 \, \text{m/s}^2} = \frac{20}{10} = 2 \, \text{kg} \)

Bước 2: Xác định biên độ dao động (A).

Đề bài cho biết: “Kéo M tới vị trí lò xo bị giãn thêm 4cm nữa rồi thả ra không vận tốc đầu.”
“Giãn thêm 4cm nữa” có nghĩa là kéo vật xuống dưới vị trí cân bằng thêm 4cm.
Khi thả vật không vận tốc đầu từ vị trí này, vị trí đó chính là biên dương của dao động.
Vậy, biên độ dao động của vật là:
\( A = 4 \, \text{cm} = 0.04 \, \text{m} \)

—

Yêu cầu 1: Xác định chiều dài ngắn nhất mà lò xo có thể đạt được.

Trong dao động điều hòa, chiều dài ngắn nhất của lò xo đạt được khi vật ở vị trí biên trên cùng. Tại vị trí này, li độ của vật so với vị trí cân bằng là \(x = -A\). Tức là vật đang ở vị trí cao nhất so với VTCB, lúc này lò xo bị nén (hoặc giãn ít nhất).

Li độ tại vị trí lò xo ngắn nhất là: \(x_{min} = -A = -4 \, \text{cm}\). (Chọn chiều dương hướng xuống).

Chiều dài của lò xo tại một thời điểm bất kỳ được tính bằng: \(l = l_0 + \Delta l_0 + x\)
Trong đó, \(l_0\) là chiều dài tự nhiên, \( \Delta l_0 \) là độ giãn của lò xo tại VTCB, và \(x\) là li độ của vật so với VTCB.

Vậy, chiều dài ngắn nhất của lò xo sẽ là:
\( l_{min} = l_0 + \Delta l_0 + x_{min} \)
\( l_{min} = 20 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} + (-4 \, \text{cm}) \)
\( l_{min} = 20 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} – 4 \, \text{cm} \)
\( l_{min} = 24 \, \text{cm} \)

Giải thích thêm: Tại vị trí ngắn nhất, lò xo bị giãn một đoạn là \( \Delta l_{min\_total} = \Delta l_0 – A = 8 \, \text{cm} – 4 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm} \). Do \( \Delta l_0 > A \), lò xo luôn ở trạng thái giãn trong suốt quá trình dao động.

Vậy, chiều dài ngắn nhất mà lò xo có thể đạt được là 24 cm.

—

Yêu cầu 2: Xác định vị trí vật có vận tốc cực đại và tính vận tốc cực đại đó.

a) Vị trí vật có vận tốc cực đại:
Trong dao động điều hòa, vận tốc của vật đạt giá trị cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng. Tại vị trí này, li độ của vật là \(x = 0\).

Vị trí cân bằng là điểm mà lò xo có chiều dài \(l_{CB} = 28 \, \text{cm}\).

Vậy, vật có vận tốc cực đại khi nó ở vị trí cân bằng, tức là tại vị trí lò xo có chiều dài 28 cm.

b) Tính vận tốc cực đại đó:
Công thức tính vận tốc cực đại trong dao động điều hòa là:
\( v_{max} = A \cdot \omega \)

Trong đó, \(A\) là biên độ dao động, và \( \omega \) là tần số góc.

Tần số góc được tính bằng công thức:
\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)

Thay các giá trị đã tìm được vào:
\( \omega = \sqrt{\frac{250 \, \text{N/m}}{2 \, \text{kg}}} = \sqrt{125} \, \text{rad/s} \)

Giờ ta tính vận tốc cực đại:
\( v_{max} = A \cdot \omega = 0.04 \, \text{m} \cdot \sqrt{125} \, \text{rad/s} \)
\( v_{max} = 0.04 \cdot 5\sqrt{5} \, \text{m/s} \)
\( v_{max} = 0.2\sqrt{5} \, \text{m/s} \)

Để dễ hình dung hơn, ta có thể làm tròn giá trị:
\( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
\( v_{max} \approx 0.2 \cdot 2.236 = 0.4472 \, \text{m/s} \)

Vậy, vận tốc cực đại của vật là \( 0.2\sqrt{5} \, \text{m/s} \) (khoảng 0.447 m/s).

—

Tóm tắt kết quả:
– Chiều dài ngắn nhất mà lò xo có thể đạt được là 24 cm.
– Vật có vận tốc cực đại khi ở vị trí cân bằng (lò xo dài 28 cm) và vận tốc cực đại đó là \( 0.2\sqrt{5} \, \text{m/s} \).

Các em nhớ rằng, việc xác định đúng vị trí cân bằng và biên độ dao động là chìa khóa để giải quyết các bài toán về con lắc lò xo treo thẳng đứng. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!