Bài toán:

Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ \(A\) đến \(B\). Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc của xe khách là \(20 \text{ km/h}\). Do đó nó đến \(B\) trước xe khách \(50\) phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường \(AB\) dài \(100 \text{ km}\).

Phân tích bài toán:

Đây là một bài toán chuyển động đều. Chúng ta có hai đối tượng chuyển động là xe khách và xe du lịch.

Các thông tin đã cho:

• Quãng đường \(AB\) dài \(100 \text{ km}\).
• Hai xe khởi hành đồng thời.
• Vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là \(20 \text{ km/h}\).
• Xe du lịch đến \(B\) trước xe khách \(50\) phút.

Các đại lượng cần tìm:

• Vận tốc của xe khách.
• Vận tốc của xe du lịch.

Đổi đơn vị thời gian:

Chúng ta thấy có đơn vị là “phút” và “giờ”. Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta cần đổi \(50\) phút ra giờ.

\(50 \text{ phút} = \frac{50}{60} \text{ giờ} = \frac{5}{6} \text{ giờ}\)

Đặt ẩn và thiết lập phương trình:

Chúng ta sẽ gọi vận tốc của xe khách là \(x\) (km/h). Theo đề bài, vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là \(20 \text{ km/h}\), vậy vận tốc của xe du lịch là \(x + 20\) (km/h).

Ta biết công thức tính thời gian là: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

Thời gian xe khách đi hết quãng đường \(AB\) là: \(t_{\text{khách}} = \frac{100}{x}\) (giờ).

Thời gian xe du lịch đi hết quãng đường \(AB\) là: \(t_{\text{du lịch}} = \frac{100}{x+20}\) (giờ).

Theo đề bài, xe du lịch đến \(B\) trước xe khách \(50\) phút, tức là thời gian đi của xe khách nhiều hơn thời gian đi của xe du lịch là \(50\) phút (\(\frac{5}{6}\) giờ).

Ta có phương trình:

\(t_{\text{khách}} – t_{\text{du lịch}} = \frac{5}{6}\)

\(\frac{100}{x} – \frac{100}{x+20} = \frac{5}{6}\)

Giải phương trình:

Để giải phương trình này, trước hết chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung là \(6x(x+20)\).

Nhân cả hai vế của phương trình với \(6x(x+20)\) để khử mẫu số, với điều kiện \(x \neq 0\) và \(x \neq -20\). Vì \(x\) là vận tốc nên \(x > 0\), do đó điều kiện này luôn được thỏa mãn.

\(6x(x+20) \left( \frac{100}{x} – \frac{100}{x+20} \right) = 6x(x+20) \left( \frac{5}{6} \right)\)

\(6(x+20) \cdot 100 – 6x \cdot 100 = 5x(x+20)\)

\(600(x+20) – 600x = 5x^2 + 100x\)

\(600x + 12000 – 600x = 5x^2 + 100x\)

\(12000 = 5x^2 + 100x\)

Bây giờ, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để có phương trình bậc hai dạng chuẩn:

\(5x^2 + 100x – 12000 = 0\)

Để phương trình đơn giản hơn, chúng ta có thể chia cả hai vế cho 5:

\(x^2 + 20x – 2400 = 0\)

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, cô sẽ hướng dẫn các em phân tích thành nhân tử.

Ta cần tìm hai số mà tổng bằng \(20\) và tích bằng \(-2400\). Hai số đó là \(60\) và \(-40\).

\(x^2 + 60x – 40x – 2400 = 0\)

\(x(x + 60) – 40(x + 60) = 0\)

\((x – 40)(x + 60) = 0\)

Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(x – 40 = 0 \implies x = 40\)

Trường hợp 2: \(x + 60 = 0 \implies x = -60\)

Kiểm tra điều kiện và kết luận:

Vì \(x\) là vận tốc, nên \(x\) phải là một số dương. Do đó, \(x = -60\) không thỏa mãn điều kiện.

Vậy, ta nhận \(x = 40\).

Với \(x = 40\), ta có:

• Vận tốc xe khách là \(x = 40 \text{ km/h}\).
• Vận tốc xe du lịch là \(x + 20 = 40 + 20 = 60 \text{ km/h}\).

Kiểm tra lại kết quả:

Thời gian xe khách đi là: \(\frac{100}{40} = 2.5 \text{ giờ}\)

Thời gian xe du lịch đi là: \(\frac{100}{60} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \text{ giờ}\)

Hiệu thời gian: \(2.5 – \frac{5}{3} = \frac{5}{2} – \frac{5}{3} = \frac{15 – 10}{6} = \frac{5}{6} \text{ giờ}\).

\(\frac{5}{6} \text{ giờ} = \frac{5}{6} \times 60 \text{ phút} = 50 \text{ phút}\).

Kết quả kiểm tra khớp với đề bài.

Vậy, vận tốc của xe khách là \(40 \text{ km/h}\) và vận tốc của xe du lịch là \(60 \text{ km/h}\).

Các em thấy đó, với các bước phân tích rõ ràng, đặt ẩn hợp lý và giải phương trình cẩn thận, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!