Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán về khí lí tưởng liên quan đến sự thay đổi trạng thái của khí khi bị làm lạnh và chuyển động của pittong cách nhiệt. Đây là một dạng bài khá hay và thường gặp trong chương trình Vật lý 12.

Đề bài: Một xi lanh kín được chia thành 2 phần bằng nhau bởi 1 pittong cách nhiệt. Mỗi phần có chiều dài 30 cm chứa 1 khí giống nhau ở 27⁰C. Làm lạnh phần khí bên này xuống 10⁰C còn bên kia giữ nguyên pittong dịch chuyển đi 1 đoạn bằng bao nhiêu mm?

Trước hết, chúng ta hãy tóm tắt các thông số đã cho và chuyển đổi đơn vị cần thiết:

• Chiều dài ban đầu của mỗi phần: \(L_0 = 30\) cm.
• Nhiệt độ ban đầu của cả hai phần khí: \(T_0 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300\) K.
• Nhiệt độ cuối cùng của phần khí bị làm lạnh (gọi là phần 1): \(T_1 = 10^\circ C = 10 + 273 = 283\) K.
• Nhiệt độ của phần khí còn lại (gọi là phần 2): \(T_2 = T_0 = 300\) K (giữ nguyên).
• Pittong là cách nhiệt, nghĩa là không có sự trao đổi nhiệt giữa hai phần khí.
• Khí trong hai phần là giống nhau và được xem là khí lí tưởng.

Phân tích bài toán:

Vì pittong cách nhiệt và có thể dịch chuyển tự do, khi hệ đạt trạng thái cân bằng mới, áp suất của khí ở hai bên pittong phải bằng nhau. Đồng thời, tổng chiều dài của xi lanh chứa khí là không đổi.

Gọi \(S\) là diện tích tiết diện ngang của xi lanh.

1. Trạng thái ban đầu:

Mỗi phần khí có thể tích ban đầu là \(V_0 = S \cdot L_0\), áp suất ban đầu là \(P_0\), nhiệt độ ban đầu là \(T_0\).

2. Trạng thái cuối cùng:

Giả sử pittong dịch chuyển đi một đoạn \( \Delta L \) về phía phần khí bị làm lạnh (phần 1). Khi đó:

• Chiều dài của phần khí 1: \(L_1 = L_0 – \Delta L\)
• Chiều dài của phần khí 2: \(L_2 = L_0 + \Delta L\)

Thể tích của phần khí 1: \(V_1 = S \cdot L_1 = S(L_0 – \Delta L)\)

Thể tích của phần khí 2: \(V_2 = S \cdot L_2 = S(L_0 + \Delta L)\)

Nhiệt độ của phần khí 1: \(T_1 = 283\) K

Nhiệt độ của phần khí 2: \(T_2 = 300\) K

Áp suất cuối cùng của cả hai phần khí (vì pittong cân bằng): \(P_f\)

3. Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng:

Vì khối lượng khí (số mol khí) trong mỗi phần là không đổi, ta có thể áp dụng phương trình Clapeyron-Mendeleev dưới dạng:

\(\frac{P \cdot V}{T} = \text{hằng số}\)

Đối với phần khí 1 (bị làm lạnh):

Trạng thái ban đầu: \(P_0, V_0, T_0\)
Trạng thái cuối cùng: \(P_f, V_1, T_1\)

Ta có: \(\frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{P_f V_1}{T_1}\)

Thay \(V_0 = S L_0\) và \(V_1 = S (L_0 – \Delta L)\), ta được:

\(\frac{P_0 (S L_0)}{T_0} = \frac{P_f (S (L_0 – \Delta L))}{T_1}\)

Rút gọn \(S\), ta được:

\(\frac{P_0 L_0}{T_0} = \frac{P_f (L_0 – \Delta L)}{T_1}\) (Phương trình 1)

Đối với phần khí 2 (giữ nguyên nhiệt độ):

Trạng thái ban đầu: \(P_0, V_0, T_0\)
Trạng thái cuối cùng: \(P_f, V_2, T_2\)

Ta có: \(\frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{P_f V_2}{T_2}\)

Thay \(V_0 = S L_0\) và \(V_2 = S (L_0 + \Delta L)\), và lưu ý rằng \(T_2 = T_0\):

\(\frac{P_0 (S L_0)}{T_0} = \frac{P_f (S (L_0 + \Delta L))}{T_0}\)

Rút gọn \(S\) và \(T_0\), ta được:

\(P_0 L_0 = P_f (L_0 + \Delta L)\) (Phương trình 2)

4. Giải hệ phương trình:

Từ Phương trình 2, ta có thể biểu diễn \(P_f\) theo \(P_0\):

\(P_f = P_0 \frac{L_0}{L_0 + \Delta L}\)

Thay biểu thức của \(P_f\) này vào Phương trình 1:

\(\frac{P_0 L_0}{T_0} = \frac{\left(P_0 \frac{L_0}{L_0 + \Delta L}\right) (L_0 – \Delta L)}{T_1}\)

Triệt tiêu \(P_0 L_0\) ở hai vế (vì \(P_0 \ne 0\), \(L_0 \ne 0\)):

\(\frac{1}{T_0} = \frac{L_0 – \Delta L}{(L_0 + \Delta L) T_1}\)

Nhân chéo hai vế:

\(T_1 (L_0 + \Delta L) = T_0 (L_0 – \Delta L)\)

Phân phối các số hạng:

\(T_1 L_0 + T_1 \Delta L = T_0 L_0 – T_0 \Delta L\)

Chuyển các số hạng chứa \( \Delta L \) sang một vế, các số hạng chứa \(L_0\) sang vế còn lại:

\(T_1 \Delta L + T_0 \Delta L = T_0 L_0 – T_1 L_0\)

Đặt \( \Delta L \) và \(L_0\) làm nhân tử chung:

\(\Delta L (T_1 + T_0) = L_0 (T_0 – T_1)\)

Vậy, công thức tính độ dịch chuyển của pittong là:

\(\Delta L = L_0 \frac{T_0 – T_1}{T_0 + T_1}\)

5. Thay số và tính toán:

Thay các giá trị đã cho vào công thức:

\(L_0 = 30\) cm

\(T_0 = 300\) K

\(T_1 = 283\) K

\(\Delta L = 30 \cdot \frac{300 – 283}{300 + 283}\)

\(\Delta L = 30 \cdot \frac{17}{583}\)

\(\Delta L = \frac{510}{583}\) cm

\(\Delta L \approx 0.87478559\) cm

Đề bài yêu cầu kết quả bằng mm, vậy ta đổi đơn vị:

\(\Delta L \approx 0.87478559 \times 10\) mm

\(\Delta L \approx 8.7478559\) mm

Làm tròn đến hai chữ số thập phân, ta được:

\(\Delta L \approx 8.75\) mm

Kết luận:

Vậy, pittong sẽ dịch chuyển đi một đoạn khoảng 8.75 mm về phía phần khí bị làm lạnh (phần 1).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ cách phân tích và giải quyết các bài toán tương tự. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!