Đề bài:

Một xí nghiệp dùng hai loại nguyên liệu \(x\) và \(y\) (tấn) để sản xuất sản phẩm, với lượng sản phẩm đạt được tính theo công thức \(P = \sqrt{x} + \sqrt{y}\). Biết giá tiền nguyên liệu là \(3\) triệu đồng/tấn loại \(x\) và \(4\) triệu đồng/tấn loại \(y\), đồng thời tổng quỹ chi phí mua nguyên liệu cố định đúng bằng \(12\) triệu đồng (\(3x + 4y = 12\)).

Hỏi xí nghiệp cần dùng bao nhiêu tấn mỗi loại nguyên liệu để lượng sản phẩm sản xuất được đạt giá trị lớn nhất?

Phân tích bài toán:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị của \(x\) (số tấn nguyên liệu loại A) và \(y\) (số tấn nguyên liệu loại B) sao cho hàm sản lượng \(P = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) đạt giá trị lớn nhất. Chúng ta có một ràng buộc về chi phí là \(3x + 4y = 12\) (tổng chi phí là 12 triệu đồng).

Vì \(x\) và \(y\) là số tấn nguyên liệu, chúng phải là các giá trị không âm: \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\).

Phương pháp giải:

Đây là một bài toán tối ưu hóa có điều kiện. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế (hoặc phương pháp Lagrange đối với các bài toán phức tạp hơn, nhưng ở đây thế là đủ).

Bước 1: Từ phương trình ràng buộc, biểu diễn một biến theo biến còn lại.
Bước 2: Thay biểu thức vừa tìm được vào hàm sản lượng \(P\) để hàm \(P\) chỉ còn phụ thuộc vào một biến.
Bước 3: Tìm miền xác định của biến đó.
Bước 4: Dùng công cụ đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P\).
Bước 5: Kết luận giá trị \(x, y\) và sản lượng \(P\) lớn nhất.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Biểu diễn \(y\) theo \(x\) từ phương trình ràng buộc.

Ta có phương trình chi phí: \(3x + 4y = 12\)
Từ đó, ta rút \(y\) ra:
\(4y = 12 – 3x\)
\(y = \frac{12 – 3x}{4}\)
\(y = 3 – \frac{3}{4}x\)

Bước 2: Thay \(y\) vào hàm sản lượng \(P\).

Hàm sản lượng là \(P = \sqrt{x} + \sqrt{y}\)
Thay \(y = 3 – \frac{3}{4}x\) vào, ta được hàm \(P\) chỉ phụ thuộc vào \(x\):
\(P(x) = \sqrt{x} + \sqrt{3 – \frac{3}{4}x}\)

Bước 3: Tìm miền xác định của \(x\).

Vì \(x\) và \(y\) là lượng nguyên liệu, chúng phải không âm:
1. \(x \ge 0\)
2. \(y \ge 0 \Rightarrow 3 – \frac{3}{4}x \ge 0\)
\(\Rightarrow 3 \ge \frac{3}{4}x\)
\(\Rightarrow 12 \ge 3x\)
\(\Rightarrow x \le 4\)
Vậy, miền xác định của \(x\) là \([0, 4]\).

Bước 4: Dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của \(P(x)\).

Để tìm giá trị lớn nhất của \(P(x)\) trên đoạn \([0, 4]\), ta sẽ tìm đạo hàm của \(P(x)\) và giải phương trình \(P'(x) = 0\).
\(P'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x} + \sqrt{3 – \frac{3}{4}x})\)
\(P'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{3 – \frac{3}{4}x}} \cdot (-\frac{3}{4})\)
\(P'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} – \frac{3}{8\sqrt{3 – \frac{3}{4}x}}\)

Đặt \(P'(x) = 0\):

\(\frac{1}{2\sqrt{x}} – \frac{3}{8\sqrt{3 – \frac{3}{4}x}} = 0\)
\(\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{8\sqrt{3 – \frac{3}{4}x}}\)
Nhân chéo hai vế:
\(8\sqrt{3 – \frac{3}{4}x} = 6\sqrt{x}\)
Chia cả hai vế cho 2:
\(4\sqrt{3 – \frac{3}{4}x} = 3\sqrt{x}\)
Bình phương cả hai vế (vì cả hai vế đều không âm):
\((4\sqrt{3 – \frac{3}{4}x})^2 = (3\sqrt{x})^2\)
\(16(3 – \frac{3}{4}x) = 9x\)
\(48 – 12x = 9x\)
\(48 = 9x + 12x\)
\(48 = 21x\)
\(x = \frac{48}{21}\)
Rút gọn phân số:
\(x = \frac{16}{7}\)

Kiểm tra \(x = \frac{16}{7}\) có nằm trong đoạn \([0, 4]\) không. Ta thấy \(\frac{16}{7} \approx 2.28\), giá trị này nằm trong đoạn \([0, 4]\).

Bây giờ, ta tìm giá trị \(y\) tương ứng với \(x = \frac{16}{7}\):

\(y = 3 – \frac{3}{4}x = 3 – \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7}\)
\(y = 3 – \frac{12}{7}\)
\(y = \frac{21}{7} – \frac{12}{7}\)
\(y = \frac{9}{7}\)

Bước 5: So sánh các giá trị \(P\) tại các điểm đặc biệt.

Để chắc chắn \((x,y) = (\frac{16}{7}, \frac{9}{7})\) cho giá trị lớn nhất, ta cần so sánh giá trị của \(P\) tại điểm dừng này và tại các mút của đoạn \([0, 4]\).

• Tại \(x = 0\):
  \(y = 3 – \frac{3}{4}(0) = 3\)
  \(P(0) = \sqrt{0} + \sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1.732\)
• Tại \(x = 4\):
  \(y = 3 – \frac{3}{4}(4) = 3 – 3 = 0\)
  \(P(4) = \sqrt{4} + \sqrt{0} = 2 + 0 = 2\)
• Tại \(x = \frac{16}{7}\) và \(y = \frac{9}{7}\):
  \(P(\frac{16}{7}) = \sqrt{\frac{16}{7}} + \sqrt{\frac{9}{7}}\)
  \(P(\frac{16}{7}) = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}\)
  \(P(\frac{16}{7}) = \frac{4}{\sqrt{7}} + \frac{3}{\sqrt{7}}\)
  \(P(\frac{16}{7}) = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}\)
  \(P(\frac{16}{7}) \approx 2.646\)

So sánh các giá trị: \(\sqrt{3} \approx 1.732\), \(2\), \(\sqrt{7} \approx 2.646\).
Ta thấy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\sqrt{7}\), đạt được khi \(x = \frac{16}{7}\) tấn và \(y = \frac{9}{7}\) tấn.

Kết luận:

Để lượng sản phẩm sản xuất được đạt giá trị lớn nhất, xí nghiệp cần dùng:

• Nguyên liệu loại \(x\): \(\frac{16}{7}\) tấn
• Nguyên liệu loại \(y\): \(\frac{9}{7}\) tấn

Khi đó, lượng sản phẩm tối đa sẽ là \(\sqrt{7}\) đơn vị.

Hy vọng phần trình bày này giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán nhé! Nếu có thắc mắc gì, cứ hỏi thầy.