Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất hai ẩn, một kiến thức rất quan trọng trong chương trình của chúng ta. Bài toán này yêu cầu chúng ta xây dựng một bất phương trình dựa trên chi phí và khối lượng của cà phê.

Chúng ta hãy cùng phân tích bài toán nhé:

1. Tính tổng chi phí nhập hạt cà phê tươi:

• Giả sử x kg hạt tươi loại A và y kg hạt tươi loại B được nhập về.
• Giá 1 kg hạt tươi loại A là 120 nghìn đồng.
• Giá 1 kg hạt tươi loại B là 160 nghìn đồng.

Tổng chi phí nhập hạt tươi là:

\(C_{tươi} = 120x + 160y\) (nghìn đồng)

2. Tính khối lượng cà phê sau khi rang:

• Tổng khối lượng hạt tươi ban đầu là: \(M_{tươi} = x + y\) (kg)
• Quá trình rang làm hao hụt 20% khối lượng. Điều này có nghĩa là khối lượng cà phê còn lại sau khi rang là \(100\% – 20\% = 80\%\) so với ban đầu.

Khối lượng cà phê thành phẩm (sau khi rang) là:

\(M_{rang} = 0.8 \times M_{tươi} = 0.8(x + y)\) (kg)

3. Tính giá vốn của cà phê thành phẩm:

• Giá vốn của cà phê thành phẩm trên mỗi kg được tính bằng tổng chi phí nhập hạt tươi chia cho tổng khối lượng cà phê thành phẩm.

\(G_{rang} = \frac{C_{tươi}}{M_{rang}} = \frac{120x + 160y}{0.8(x + y)}\) (nghìn đồng/kg)

4. Thiết lập bất phương trình theo yêu cầu bài toán:

• Bài toán yêu cầu giá vốn của cà phê thành phẩm không vượt quá 180 nghìn đồng/kg.

Điều này có nghĩa là: \(G_{rang} \le 180\)

Thay biểu thức của \(G_{rang}\) vào, ta có bất phương trình:

\(\frac{120x + 160y}{0.8(x + y)} \le 180\)

5. Giải và rút gọn bất phương trình:

• Trước hết, chúng ta cần lưu ý rằng x và y là khối lượng nên chúng phải không âm (\(x \ge 0\), \(y \ge 0\)). Đồng thời, để có cà phê thành phẩm, tổng khối lượng phải lớn hơn 0 (\(x+y > 0\)).
• Nhân cả hai vế của bất phương trình với \(0.8(x + y)\). Vì \(x+y > 0\) nên \(0.8(x+y)\) là một số dương, do đó chiều của bất phương trình không thay đổi:

\(120x + 160y \le 180 \times 0.8(x + y)\)

• Tính toán vế phải:

\(180 \times 0.8 = 144\)

• Vậy, bất phương trình trở thành:

\(120x + 160y \le 144(x + y)\)

• Phân phối 144 vào trong ngoặc:

\(120x + 160y \le 144x + 144y\)

• Chuyển các số hạng chứa x sang một vế và các số hạng chứa y sang vế còn lại (hoặc tất cả về một vế):

\(160y – 144y \le 144x – 120x\)

• Thực hiện phép trừ:

\(16y \le 24x\)

• Để rút gọn bất phương trình, ta chia cả hai vế cho ước chung lớn nhất của 16 và 24, là 8:

\(\frac{16y}{8} \le \frac{24x}{8}\)

\(2y \le 3x\)

• Chúng ta có thể viết lại bất phương trình này dưới dạng chuẩn hơn là:

\(3x – 2y \ge 0\)

Kết luận:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y sao cho giá vốn của cà phê thành phẩm không vượt quá 180 nghìn đồng/kg là:

\(\mathbf{3x – 2y \ge 0}\)

Và các điều kiện đi kèm là \(x \ge 0\), \(y \ge 0\), và \(x+y > 0\) (để đảm bảo có cà phê thành phẩm).

Các em thấy đó, một bài toán thực tế phức tạp như vậy có thể được mô hình hóa thành một bất phương trình đơn giản. Điều quan trọng là phải phân tích kỹ từng bước, từ chi phí, khối lượng cho đến tỷ lệ hao hụt. Hy vọng bài giải này giúp các em hiểu rõ hơn về cách ứng dụng bất phương trình vào đời sống!

Nếu có thắc mắc gì, các em cứ hỏi nhé!