Chúng ta cùng đọc kỹ đề bài nhé: “Mưa đỏ là một tiểu thuyết nổi tiếng viết về cuộc kháng chiến chống Mĩ của quân dân Việtu Nam do nhà văn Chu Lai sáng tác, lấy bối cảnh 81 ngày đêm ác liệt ở Thành cổ Quảng Trị, muà hè năm 1972. Bạn An dự định đọc hết cuốn tiểu thuyết này trong một khoảng thời gian nhất định, mỗi ngày đọc số tráng như nhau. Tuy nhiên: Nếu mỗi ngày An đọc nhiều hơn dự định 9 trang, thì bạn ấy sẽ hoàn thành sớm hơn 2 ngày. Ngược lại, nếu mỗi ngày An đọc ít hơn dự định 12 trang, thì bạn ấy phải mất thêm 5 ngày mới đọc xong. Hỏi cuốn tiểu thuyết Mưa đỏ dài bao nhiêu trang?”.

Đây là một bài toán hay, giúp chúng ta ôn lại kiến thức về hệ phương trình. Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này theo từng bước một.

Bước 1: Phân tích bài toán và đặt ẩn

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng chưa biết và đặt chúng là các biến số.

• Gọi \(x\) là số trang sách An dự định đọc mỗi ngày (trang/ngày). Điều kiện: \(x > 12\) vì nếu đọc ít hơn 12 trang, số trang sẽ là \(x-12\), cần phải lớn hơn 0.
• Gọi \(t\) là số ngày An dự định đọc xong cuốn sách (ngày). Điều kiện: \(t > 2\) vì nếu hoàn thành sớm hơn 2 ngày, số ngày sẽ là \(t-2\), cần phải lớn hơn 0.
• Tổng số trang của cuốn tiểu thuyết “Mưa đỏ” là \(P\).

Theo dự định ban đầu, tổng số trang của cuốn sách là tích của số trang đọc mỗi ngày và số ngày dự định:

\(P = x \cdot t\)

Bước 2: Lập hệ phương trình

Dựa vào các dữ kiện mà đề bài cung cấp, chúng ta sẽ lập các phương trình liên hệ.

Dữ kiện 1: “Nếu mỗi ngày An đọc nhiều hơn dự định 9 trang, thì bạn ấy sẽ hoàn thành sớm hơn 2 ngày.”

• Số trang đọc mỗi ngày mới: \(x + 9\) (trang/ngày)
• Số ngày hoàn thành mới: \(t – 2\) (ngày)

Khi đó, tổng số trang của cuốn sách vẫn không đổi:

\(P = (x + 9)(t – 2)\)

Vì \(P = xt\), nên ta có phương trình thứ nhất:

\(xt = (x + 9)(t – 2)\)

\(xt = xt – 2x + 9t – 18\)

\(0 = -2x + 9t – 18\)

\(\Rightarrow 2x – 9t = -18\) (1)

Dữ kiện 2: “Ngược lại, nếu mỗi ngày An đọc ít hơn dự định 12 trang, thì bạn ấy phải mất thêm 5 ngày mới đọc xong.”

• Số trang đọc mỗi ngày mới: \(x – 12\) (trang/ngày)
• Số ngày hoàn thành mới: \(t + 5\) (ngày)

Tổng số trang của cuốn sách vẫn không đổi:

\(P = (x – 12)(t + 5)\)

Vì \(P = xt\), nên ta có phương trình thứ hai:

\(xt = (x – 12)(t + 5)\)

\(xt = xt + 5x – 12t – 60\)

\(0 = 5x – 12t – 60\)

\(\Rightarrow 5x – 12t = 60\) (2)

Từ (1) và (2), chúng ta có hệ phương trình hai ẩn \(x\) và \(t\):

\(\begin{cases} 2x – 9t = -18 \\ 5x – 12t = 60 \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có thể dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ này. Thầy sẽ dùng phương pháp cộng đại số để khử một ẩn.

Để khử ẩn \(x\), thầy sẽ nhân phương trình (1) với 5 và phương trình (2) với 2:

Nhân (1) với 5: \((2x – 9t) \cdot 5 = -18 \cdot 5 \Rightarrow 10x – 45t = -90\) (3)

Nhân (2) với 2: \((5x – 12t) \cdot 2 = 60 \cdot 2 \Rightarrow 10x – 24t = 120\) (4)

Trừ phương trình (3) cho phương trình (4):

\((10x – 45t) – (10x – 24t) = -90 – 120\)

\(10x – 45t – 10x + 24t = -210\)

\(-21t = -210\)

\(t = \frac{-210}{-21}\)

\(t = 10\)

Vậy, số ngày An dự định đọc xong cuốn sách là 10 ngày.

Tiếp theo, thay \(t = 10\) vào phương trình (1) (hoặc (2)) để tìm \(x\).

Thầy chọn phương trình (1):

\(2x – 9(10) = -18\)

\(2x – 90 = -18\)

\(2x = -18 + 90\)

\(2x = 72\)

\(x = \frac{72}{2}\)

\(x = 36\)

Vậy, số trang sách An dự định đọc mỗi ngày là 36 trang.

Bước 4: Tìm tổng số trang của cuốn sách

Bây giờ chúng ta đã có \(x\) và \(t\), chúng ta có thể dễ dàng tìm được tổng số trang của cuốn tiểu thuyết “Mưa đỏ”.

\(P = x \cdot t\)

\(P = 36 \cdot 10\)

\(P = 360\)

Vậy, cuốn tiểu thuyết “Mưa đỏ” dài 360 trang.

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả (optional nhưng rất nên làm)

• Dự định ban đầu: 36 trang/ngày trong 10 ngày = 360 trang.
• Tình huống 1: Đọc nhiều hơn 9 trang/ngày.
  Số trang đọc mỗi ngày: \(36 + 9 = 45\) trang/ngày.
  Thời gian hoàn thành: \(360 \div 45 = 8\) ngày.
  So với dự định (10 ngày), bạn ấy hoàn thành sớm hơn \(10 – 8 = 2\) ngày. (Đúng với đề bài)
• Tình huống 2: Đọc ít hơn 12 trang/ngày.
  Số trang đọc mỗi ngày: \(36 – 12 = 24\) trang/ngày.
  Thời gian hoàn thành: \(360 \div 24 = 15\) ngày.
  So với dự định (10 ngày), bạn ấy mất thêm \(15 – 10 = 5\) ngày. (Đúng với đề bài)

Kết quả hoàn toàn khớp với các điều kiện đề bài đưa ra, vậy bài giải của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Cuốn tiểu thuyết “Mưa đỏ” dài 360 trang.

Các em thấy đấy, từ một bài toán thực tế, chúng ta đã biến nó thành một hệ phương trình và giải quyết một cách logic. Hãy luyện tập thêm các dạng bài này để củng cố kiến thức nhé!